Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 29.03.2011 | | Autor: | Flock |
| Aufgabe 1 | Es seien V,W zwei endlichdimensionale K-Vektorraume, [mm] w_{1},...,w_{n} [/mm] /in W und B = [mm] (b_{1},...,b_{n}) [/mm] eine geordnete Basis von V. Zeigen Sie:
1: Es gibt eine eindeutige K-lineare Abbildung f: [mm] V_{n}(K) [/mm] -> W mit [mm] f(e_{i}) [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] fur alle i = 1,...,n
2: Es gibt eine eindeutige K-lineare Abbildung g:V -> W mit [mm] g(b_{i}) [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] fur alle i = 1,...,n
3: Die Abbildung aus 2 ist genau dann ein Isomorphismus, wenn [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] eine geordnete Basis von W ist. |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie oder widerlegen Sie:
1. Jeder Koerperhomomorphismus ist injektiv.
2.Sei g: V -> V Endomorphismus, B = [mm] ((b_{1},...,b_{n})) [/mm] eine geordnete Basis von V und Mat(f) von b nach b = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, [/mm] dann existiert ein v [mm] \in V\{0} [/mm] mit g(v) = v |
Hallo, Forum!
Ich habe ein Paar Aufgaben im Internet gefunden, zu denen keine Loesungen vorhanden sind. Die Aufgaben haben jeweils eine Pointe, auf die ich manchmal nicht komme.
Aufgabe 1:
1 & 2: [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] ist nicht zwingend eine Basis und das ist, woran ich bei der Aufgabe scheitere. Wenn es so waere, dann wuerde so eine lineare Abbildung auf jeden Fall existieren.
Ich habe versucht stupide die Linearitaet nachzurechnen:
1. [mm] f(e_{i}) [/mm] + [mm] f(e_{j}) [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] + [mm] w_{j} [/mm] =(*) [mm] f(e_{i} [/mm] + [mm] e_{j})
[/mm]
(*) gilt aber nur, wenn die Abbildung tatsaechlich linear ist. Das macht mich unsicher, analog bei 2. Punkt
2. [mm] a*f(e_{i}) [/mm] = [mm] a*w_{i} [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] + ... + [mm] w_{i} [/mm] (a-mal) = [mm] f(e_{i}) [/mm] + ... + [mm] f(e_{i}) [/mm] (a-mal) = (da 1. gilt, folgt) = [mm] f(e_{i}+ [/mm] ... + [mm] e_{i}) [/mm] = [mm] f(a*e_{i}) [/mm] hmm... irgendwie ist es komisch...
Wie zeige ich ueberhaupt die Existenz einer linearen Abbildung, es ist mir nicht ganz klar, muss man zeigen, dass es wohldefiniert ist, oder wie ?! Vor allem verwirrt mich das Wort eindeutig in der Aufgabenstellung.
1.3
Isomorphismus = linear + bijektiv, also wird jedem Vektor aus der Basis B genau ein Vektor [mm] w_{i} [/mm] zugeordnet. Die Vektoren [mm] b_{i} [/mm] sind linear unabhaengig, diese Eigenschaft uebertraegt sich auf [mm] w_{i}.
[/mm]
[mm] a_{1}*b_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}*b_{n} [/mm] = 0. mit der einzigen Loesung [mm] a_{1}=...= a_{n} [/mm] = 0.
Wende g an: es gilt g(0) = 0
[mm] g(a_{1}*b_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}*b_{n}) [/mm] = g(0), da g linear:
[mm] a_{1}*g(b_{1}) [/mm] + ... + [mm] a_{n}*g(b_{n}) [/mm] = 0
Die einzige Loesung ist hier auch [mm] a_{1}=...= a_{n} [/mm] = 0. Somit ist w ein minimales Erzeugendensystem und auch eine Basis von W. (In der Aufgabenstellung nicht klar, ob man nachrechnen soll, dass [mm] w_{1},...,w_{n} [/mm] W erzeugen)
Die Rueckrichtung ist kniffliger...
[mm] w_{1},...,w_{n} [/mm] Basis von W => g ist linear (ich wuerde es analog wie in der Hinrichtung hinschreiben bzw. Widerspruchsbeweis: Sei [mm] w_{1},...,w_{n} [/mm] eine Basis, aber g nicht linear, wenn man wie oben rechnet, findet man einen Widerspruch), eigentlich ist es klar. Beim Isomorphismus wuerde ich es so versuchen: dim Bild(g) = dim W
so treffe ich alle Basisvektoren [mm] w_{1},...,w_{n}. [/mm] Kern(g) ist injektiv, da f(0) = 0 gilt und keine anderen Elemete enthalten soll, nur wie zeige ich es? Ausserdem soll gelten: dim V = dim Bild(g), was die Abbildungsvorschrift vorschreibt, aber es ist wiederum unmathematisch argumentiert. Wenn man eine Basis auf eine Basis abbildet, dann kann man ja so was hinschreiben fuer alle v in V gilt g(v) = W, somit surjektiv, aber so trivial kann es ja nicht sein. Da die Basis keine Nullelemente enthalten darf, muss der Kern trivial sein. Wie gesagt, ich bin mit meiner Argumentation unzufrieden und freue mich, wenn jemand mir ein paar Tipps gibt oder mich korrigiert.
Aufgabe 2:
Intuitiv gedacht, muessten alle Aussagen stimmen, die Frage ist: warum?
1. Ich muss zeigen: f(m) = f(n) => m = n
Es gilt nach Axiomen des Koerperhomomorphismus:
1. g(m + n) = g(m) + g(n) =>
Ich wuerde g^(-1) anwenden und erhalte dann:
m + n = g^(-1)(g(m) + g(n))
Aber man darf das eigentlich nicht, denn die Abbildung ist ja nicht zwingend bijektiv...
2. g(m * n) = g(m) * g(n)
3. g(1) = 1
Oder ganz stupide:
g(m + n) - g(m) = g(n)
g(m * n) = g(m)*(g(m + n) - g(m))
g(m) * g(n) = g(m)*(g(m + n) - g(m))... na ja, scheitert
Dann vielleicht: Sollte ich das ueber den Kern versuchen?
1 ist das einzige Element, das im Kern liegt. => injekiv
2. Ich wuerde sagen, dass diese Matrix (eine Diagonalmatrix ist und) zeigt, dass 1,1,0 Eigenwerte sind. Aus der Definition von Eigenwerten folgt g(v)= a*v, da aber a=1 ist, gilt g(v)=v da V keine 0 enthaelt bin ich fertig. (In der Vorlesung kam diese Aufgabe, bevor wir mit Eigenvektoren angefangen haben, gibt es da eine Alternativloesung?)
Ist es so richtig?
oha, ich hoffe, dass ich die meisten Leser hier mit dem Riesentext nicht zu sehr ueberlaste.
Ich bedanke mich im Voraus fuer Ihre/eure Hilfe.
Gruss
Flock
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 29.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Aufgabe 1:
>
> 1 & 2: [mm](w_{1},...,w_{n})[/mm] ist nicht zwingend eine Basis und
> das ist, woran ich bei der Aufgabe scheitere. Wenn es so
> waere, dann wuerde so eine lineare Abbildung auf jeden Fall
> existieren.
> Ich habe versucht stupide die Linearitaet nachzurechnen:
> 1. [mm]f(e_{i})[/mm] + [mm]f(e_{j})[/mm] = [mm]w_{i}[/mm] + [mm]w_{j}[/mm] =(*) [mm]f(e_{i}[/mm] +
> [mm]e_{j})[/mm]
> (*) gilt aber nur, wenn die Abbildung tatsaechlich linear
> ist. Das macht mich unsicher, analog bei 2. Punkt
> 2. [mm]a*f(e_{i})[/mm] = [mm]a*w_{i}[/mm] = [mm]w_{i}[/mm] + ... + [mm]w_{i}[/mm] (a-mal) =
> [mm]f(e_{i})[/mm] + ... + [mm]f(e_{i})[/mm] (a-mal) = (da 1. gilt, folgt) =
> [mm]f(e_{i}+[/mm] ... + [mm]e_{i})[/mm] = [mm]f(a*e_{i})[/mm] hmm... irgendwie ist es
> komisch...
>
> Wie zeige ich ueberhaupt die Existenz einer linearen
> Abbildung, es ist mir nicht ganz klar, muss man zeigen,
> dass es wohldefiniert ist, oder wie ?! Vor allem verwirrt
> mich das Wort eindeutig in der Aufgabenstellung.
Bevor du Linearität und so nachrechnen kannst, musst du die Abbildung explizit angeben. Du sollst ja zeigen, dass es genau eine gibt. Da ist es eine gute Idee sie mal hinzuschreiben und dann alle gewünschten Eigenschaften nachzurechnen.
Du kannst ja jedes Element [mm] $x\:$ [/mm] aus dem Urbildraum als Linearkombination der [mm] $e_i$ [/mm] schreiben, d.h. $x = [mm] \summe_{i=1}^n \lambda_i e_i$. [/mm] Definiere nun $f(x) = f( [mm] \summe_{i=1}^n \lambda_i e_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^n \lambda_i f(e_i)$
[/mm]
Zeige, dass diese Funktion wohldefiniert ist und linear (ist wirklich sehr einfach, folgt quasi direkt aus der Defnintion).
Für die Eindeutigkeit nehme an, es gäbe eine weitere Funktion, die die gewünschten Eigenschaften hat, die sich aber von f unterscheidet, d.h. in mindestens einem Element von ihr abweicht. Führe dies zu einem Widerspruch.
Diese Anleitung funktioniert natürlich genauso für Aufgabeteil 2.
> 1.3
>
> Isomorphismus = linear + bijektiv, also wird jedem Vektor
> aus der Basis B genau ein Vektor [mm]w_{i}[/mm] zugeordnet. Die
> Vektoren [mm]b_{i}[/mm] sind linear unabhaengig, diese Eigenschaft
> uebertraegt sich auf [mm]w_{i}.[/mm]
> [mm]a_{1}*b_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}*b_{n}[/mm] = 0. mit der einzigen
> Loesung [mm]a_{1}=...= a_{n}[/mm] = 0.
> Wende g an: es gilt g(0) = 0
> [mm]g(a_{1}*b_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}*b_{n})[/mm] = g(0), da g linear:
> [mm]a_{1}*g(b_{1})[/mm] + ... + [mm]a_{n}*g(b_{n})[/mm] = 0
> Die einzige Loesung ist hier auch [mm]a_{1}=...= a_{n}[/mm] = 0.
Woher weißt du das jetzt? Nehme doch mal an [mm] $(w_1, \ldots w_n)$ [/mm] wären linear abhängig, was würde daraus für [mm] $(b_1, \ldots, b_n)$ [/mm] folgen? Dabei muss du verwenden, dass g Isomorphismus ist, das heißt, dass $g(x) [mm] \not=0$ [/mm] für $x [mm] \not=0$.
[/mm]
> Somit ist w ein minimales Erzeugendensystem und auch eine
> Basis von W. (In der Aufgabenstellung nicht klar, ob man
> nachrechnen soll, dass [mm]w_{1},...,w_{n}[/mm] W erzeugen)
Dass [mm]w_{1},...,w_{n}[/mm] W erzeugen, folgt sofort daraus, dass g surjektiv ist und [mm] $w_1, \ldots, w_n$ [/mm] linear unabhängig.
> Die Rueckrichtung ist kniffliger...
> [mm]w_{1},...,w_{n}[/mm] Basis von W => g ist linear (ich wuerde es
> analog wie in der Hinrichtung hinschreiben bzw.
> Widerspruchsbeweis: Sei [mm]w_{1},...,w_{n}[/mm] eine Basis, aber g
> nicht linear, wenn man wie oben rechnet, findet man einen
> Widerspruch), eigentlich ist es klar. Beim Isomorphismus
> wuerde ich es so versuchen: dim Bild(g) = dim W
> so treffe ich alle Basisvektoren [mm]w_{1},...,w_{n}.[/mm] Kern(g)
> ist injektiv, da f(0) = 0 gilt und keine anderen Elemete
> enthalten soll, nur wie zeige ich es? Ausserdem soll
> gelten: dim V = dim Bild(g), was die Abbildungsvorschrift
> vorschreibt, aber es ist wiederum unmathematisch
> argumentiert. Wenn man eine Basis auf eine Basis abbildet,
> dann kann man ja so was hinschreiben fuer alle v in V gilt
> g(v) = W, somit surjektiv, aber so trivial kann es ja nicht
> sein. Da die Basis keine Nullelemente enthalten darf, muss
> der Kern trivial sein. Wie gesagt, ich bin mit meiner
> Argumentation unzufrieden und freue mich, wenn jemand mir
> ein paar Tipps gibt oder mich korrigiert.
Du musst versuchen deine Gedanken ein wenig mehr zu strukturieren. Ich verstehe nicht so richtig was du machst.
Verwende für die Surjektivität, dass [mm] $(b_1,\ldots,b_n)$ [/mm] eine Basis von V ist. Danach kannst du, da W und V gleiche Dimension haben, für die Injektivität die Dimensionsformel verwenden.
> Aufgabe 2:
> Intuitiv gedacht, muessten alle Aussagen stimmen, die
> Frage ist: warum?
>
> 1. Ich muss zeigen: f(m) = f(n) => m = n
> Es gilt nach Axiomen des Koerperhomomorphismus:
> 1. g(m + n) = g(m) + g(n) =>
> Ich wuerde g^(-1) anwenden und erhalte dann:
> m + n = g^(-1)(g(m) + g(n))
> Aber man darf das eigentlich nicht, denn die Abbildung ist
> ja nicht zwingend bijektiv...
> 2. g(m * n) = g(m) * g(n)
> 3. g(1) = 1
> Oder ganz stupide:
> g(m + n) - g(m) = g(n)
> g(m * n) = g(m)*(g(m + n) - g(m))
> g(m) * g(n) = g(m)*(g(m + n) - g(m))... na ja, scheitert
> Dann vielleicht: Sollte ich das ueber den Kern versuchen?
> 1 ist das einzige Element, das im Kern liegt. => injekiv
Ja, versuche es über den Kern. Angenommen $Kern(g) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \;\exists [/mm] x [mm] \in K\backslash\{0\}: [/mm] g(x)=0$. Verwende nun, dass jedes Element eines Körpers außer der 0 invertiebar ist, d.h. es ex $y [mm] \in [/mm] K: xy=1$. Außerdem ist g linear, was folgt also für g(1)?
>
> 2. Ich wuerde sagen, dass diese Matrix (eine Diagonalmatrix
> ist und) zeigt, dass 1,1,0 Eigenwerte sind. Aus der
> Definition von Eigenwerten folgt g(v)= a*v, da aber a=1
> ist, gilt g(v)=v da V keine 0 enthaelt bin ich fertig.
V enthält keine 0? Das wäre mir neu. Für welche v gilt $g(v)=v$? Es reicht ja es für ein v zu zeigen und du weißt, dass 1 ein Eigenwert von g ist. Was folgt?
> der Vorlesung kam diese Aufgabe, bevor wir mit
> Eigenvektoren angefangen haben, gibt es da eine
> Alternativloesung?)
> Ist es so richtig?
>
> oha, ich hoffe, dass ich die meisten Leser hier mit dem
> Riesentext nicht zu sehr ueberlaste.
> Ich bedanke mich im Voraus fuer Ihre/eure Hilfe.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 31.03.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo, nochmal!
Ich habe es teils teils verstanden, also habe noch einige Fragen.
Zu 1.1:
1. f(v + w) = [mm] f(\summe_{i=1}^{n} a_{i}*e_{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{i}*e_{i}) [/mm] = [mm] f(\summe_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})*e_{i}) =\summe_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})*f(e_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}*f(e_{i}) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{i}*f(e_{i}) [/mm] = f(v) + f(w)
2. Analog wuerde ich das zweite Axiom nachrechnen. Ist damit die Wohldefiniertheit gezeigt bzw. Existenz?
Nun Eindeutigkeit:
Gaebe es noch eine Funktion h mit den gleichen Eigenschaften wie f, dann muesste folgendes gelten:
h(v)-f(v)=0, ist h von f verschieden, so ist das ganze ungleich null, also Widerspruch, reicht das so hinzuschreiben? Ich habe noch nie sowas in Lineare Algebra aufgeschrieben bzw. bewiesen...
zu 1.3 Die Hin-richtung habe ich hinbekommen,
aber die Rueckrichtung, an sich folgt das aus der Definition von f, dass jedem Basiselement ein Basiselement von w zugeordnet wird.
z. Z fuer Injektiv: f(b) = [mm] f(b_{1}) [/mm] => b = [mm] b_{1}
[/mm]
oder Kern(f) = 0, hmm, aber in der Basis sind ja alle Elemente linear unabhaengig, und keine Null ist drin enthalten, also muss der Kern trivial sein. also injektiv, ausserdem f(0) = 0.
Wenn es injektiv ist, dann ist es wegen der Dimensionsformel surjektiv und auch bijektiv. (da V und W gleiche Dimensionen haben und die Dimension vom Bild(f)=dim V=dim W)...
zu 2)
1. Da g linear, und 1 das neutrale Element - g(1)=1 , also der Kern ist trivial. Auf die Idee mit dem Inversen im Koerper hatte ich kommen sollen.
2. Also gilt es gerade fuer [mm] v\not=0 [/mm] oder wie? g(v) = v fuer den Eigenwert 1.sogar fuer v=0, da g(0)=0 und linear. Also fuer alle moeglichen v.
Danke Lippel, und an alle anderen Teilnehmer, die mir helfen schon mal im Voraus
Flock
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo, Forum!
Mir ist wirklich wichtig zu verstehen, wie die Aufgaben 1.1 und 1.2 gehen, wäre wirlich schön, wenn jemand zu meiner obigen Lösung einen Kommentar schreiben könnte...
Gruss
Flock
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 So 03.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Moin,
> Ich habe es teils teils verstanden, also habe noch einige
> Fragen.
>
> Zu 1.1:
>
> 1. f(v + w) = [mm]f(\summe_{i=1}^{n} a_{i}*e_{i}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{n} b_{i}*e_{i})[/mm] = [mm]f(\summe_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})*e_{i}) =\summe_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})*f(e_{i})[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i}*f(e_{i})[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n} b_{i}*f(e_{i})[/mm]
> = f(v) + f(w)
> 2. Analog wuerde ich das zweite Axiom nachrechnen.
Genau.
>Ist damit die Wohldefiniertheit gezeigt bzw. Existenz?
Du hast für jeden Vektor aus dem Urbildraum genau ein Bild angegeben, und dieses liegt stets im Bildraum (warum?). Damit ist die Wohldefiniertheit gezeigt.
> Nun Eindeutigkeit:
>
> Gaebe es noch eine Funktion h mit den gleichen
> Eigenschaften wie f, dann muesste folgendes gelten:
> h(v)-f(v)=0,
Warum folgt das direkt für alle v? Das sollst du ja gerade zeigen. Zunächst einmal erfüllen f und h nur die geforderten Eigenschaften aus der Aufgabenstellung, nämlich [mm] $f(e_i) [/mm] = [mm] w_i [/mm] = [mm] h(e_i)$ [/mm] für alle $i=1, [mm] \ldots, [/mm] n$. Wie würde sich jetzt ein Widerspruch ergeben, wenn es ein $x [mm] \in V_n(K)$ [/mm] gäbe, mit $f(x) [mm] \not= [/mm] h(x)$?
> ist h von f verschieden, so ist das ganze
> ungleich null, also Widerspruch, reicht das so
> hinzuschreiben? Ich habe noch nie sowas in Lineare Algebra
> aufgeschrieben bzw. bewiesen...
>
> zu 1.3 Die Hin-richtung habe ich hinbekommen,
> aber die Rueckrichtung, an sich folgt das aus der
> Definition von f, dass jedem Basiselement ein Basiselement
> von w zugeordnet wird.
> z. Z fuer Injektiv: f(b) = [mm]f(b_{1})[/mm] => b = [mm]b_{1}[/mm]
> oder Kern(f) = 0, hmm, aber in der Basis sind ja alle
> Elemente linear unabhaengig, und keine Null ist drin
> enthalten, also muss der Kern trivial sein. also injektiv,
> ausserdem f(0) = 0.
> Wenn es injektiv ist, dann ist es wegen der
> Dimensionsformel surjektiv und auch bijektiv. (da V und W
> gleiche Dimensionen haben und die Dimension vom Bild(f)=dim
> V=dim W)...
Ungeschickt ausgedrückt, aber im Grunde richtig denke ich.
> zu 2)
>
> 1. Da g linear, und 1 das neutrale Element - g(1)=1 , also
> der Kern ist trivial.
Warum das denn?? Es könnte doch noch weitere Elemente geben, die auf 1 abgebildet werden
Nochmal strukturiert: Angenommen $ Kern(g) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \;\exists [/mm] x [mm] \in K\backslash\{0\}: [/mm] g(x)=0 $. x ist invertierbar, da jedes Element eines Körpers außer der 0 invertiebar ist, d.h. es existiert $ y [mm] \in [/mm] K: xy=1 $. Außerdem ist g linear [mm] $\Rightarrow [/mm] g(1) = g(xy) = g(x)g(y) = 0 [mm] \cdot [/mm] g(y) = 0$. Siehst du jetzt den Widerspruch.
> Auf die Idee mit dem Inversen im
> Koerper hatte ich kommen sollen.
>
> 2. Also gilt es gerade fuer [mm]v\not=0[/mm] oder wie? g(v) = v fuer
> den Eigenwert 1.sogar fuer v=0, da g(0)=0 und linear. Also
> fuer alle moeglichen v.
Nein, es gilt nich für alle v. Der Eigenraum zum Eigenwert 0 hat Dimension 1. Alle Elemente aus diesem Eigenraum werden auf 0 abgebildet und damit nicht auf sich selbst (wenn du die 0 außen vor lässt).
1 ist doch offenbar Eigenwert des Endomorphismus, der zugehörige Eigenraum hat Dimension 2 (warum?) und für alle Elemente aus diesem Eigenraum gilt g(v) = v.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo, Lippel!
Danke für deine Hinweise.
Zu 1)
Wohldefiniertheit:
Zu jedem Element des Bildes gibt es ein Urbildelement sowie zu jedem Urbildelement gibt es ein Bildelement, somit muss die Abbildung wohldefiniert sein, aus den Basisvektoren des Bildes lässt sich jeder Vektor des Bildes konstruieren, sowie aus der Basis des Urbildes, jeder Vektor des Urbildes.
Eindeutigkeit:
Sei [mm] f(x)\not=h(x). [/mm] Und [mm] h(x)=h(\summe_{i=1}^{n} a_{i}*e_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}*w_{i} [/mm] = h(x). Dasselbe gelte für f(x). Dann folge [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}*w_{i} \not= \summe_{i=1}^{n} a_{i}*w_{i}. [/mm] Was ein Widerspruch ist.
Es folgt deswegen: h(x)-f(x)=0, was die Eindeutigkeit zeigt. Ist es so richtig? Ich finde den Beweis irgendwie komisch, bzw. viel zu trivial...
zu 2)
Widerspruch liegt bei [mm] 1\not=0, [/mm] wegen des dritten Körperhomomorphismusaxioms.
zu der dritten Aufgabe:
Also es reicht eigentlich nur einen Eigenwert anzugeben, in dem Fall 1. Nach Definition des Eigenwertes gilt:
g(v)=c*v => g(v) = v für c=1, also der Eigenraum zum Eigenwert 1 erfüllt diese Eigenschaft. Die algebraische Vielfachheit zum Eigenwert 1 ist gleich 2. Damit die Matrix als Diagonalmatrix geschrieben werden kann, soll folgendes gelten: die geometrische Vielfachheit = algebraische Vielfachheit. Damit muss die Dimension des Eigenraums zwei sein.
Danke für deine Hilfe, Lippel!
Ich hoffe, dass es jetzt alles stimmt, was ich hingeschrieben habe.
Gruss
Flock
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Di 05.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Zu 1)
>
> Wohldefiniertheit:
>
> Zu jedem Element des Bildes gibt es ein Urbildelement
Das ist gerade die Defnition des Bildes, nicht erwähnenswert also. Wenn es zu einem Vektor kein Urbild gibt, liegt er ja gar nicht im Bild. Aber das ist für die Wohldefiniertheit gar nicht von belang. Du musst hier nur zeigen, dass jeder Vektor des Urbildraumes genau ein Bild hat.
> sowie zu jedem Urbildelement gibt es ein Bildelement, somit muss
Es ist wichtig, dass es genau eins gibt. Denn eine Abbilidung darf nie einem Wert zwei Funktionswerte zuweisen.
> die Abbildung wohldefiniert sein, aus den Basisvektoren des
> Bildes lässt sich jeder Vektor des Bildes konstruieren,
> sowie aus der Basis des Urbildes, jeder Vektor des
> Urbildes.
Sonst wären es ja keine Basen, ja.
> Eindeutigkeit:
>
> Sei [mm]f(x)\not=h(x).[/mm] Und [mm]h(x)=h(\summe_{i=1}^{n} a_{i}*e_{i})[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i}*w_{i}[/mm] = h(x). Dasselbe gelte für
> f(x). Dann folge [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i}*w_{i} \not= \summe_{i=1}^{n} a_{i}*w_{i}.[/mm]
> Was ein Widerspruch ist.
> Es folgt deswegen: h(x)-f(x)=0, was die Eindeutigkeit
> zeigt. Ist es so richtig? Ich finde den Beweis irgendwie
> komisch, bzw. viel zu trivial...
Es ist trivial. Die Aussage ist, dass zwei lineare Abbildungen übereinstimmen, sobald sie auf einer Basis übereinstimmen.
> zu 2)
>
> Widerspruch liegt bei [mm]1\not=0,[/mm] wegen des dritten
> Körperhomomorphismusaxioms.
Genau.
> zu der dritten Aufgabe:
>
> Also es reicht eigentlich nur einen Eigenwert anzugeben, in
> dem Fall 1. Nach Definition des Eigenwertes gilt:
> g(v)=c*v => g(v) = v für c=1, also der Eigenraum zum
> Eigenwert 1 erfüllt diese Eigenschaft.
Genauer, die Vektoren aus dem Eigenraum.
> Die algebraische Vielfachheit zum Eigenwert 1 ist gleich 2. Damit die Matrix
> als Diagonalmatrix geschrieben werden kann, soll folgendes
> gelten: die geometrische Vielfachheit = algebraische
> Vielfachheit. Damit muss die Dimension des Eigenraums zwei
> sein.
Viele Grüße, Lippel
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