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| Aufgabe | Überprüfe, ob die Abbildung linear ist:
[mm] \IR_{\le2}[x]--> [/mm] V [mm] ax^2+bx+c-->\pmat{ 0 & a-2 \\ 0 & -b+c } [/mm] |
Für eine lineare Abbildung muss ja gelten:
f(x+y) = f(x)+f(y) und f(ax) =a f(x)
Mir ist jetzt nicht klar, wie ich an dieser Abbildungsvorschrift überprüfen soll.
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> Überprüfe, ob die Abbildung linear ist:
> [mm]\IR_{\le2}[x]-->[/mm] V [mm]ax^2+bx+c-->\pmat{ 0 & a-2 \\
0 & -b+c }[/mm]
>
> Für eine lineare Abbildung muss ja gelten:
> f(x+y) = f(x)+f(y) und f(ax) =a f(x)
> Mir ist jetzt nicht klar, wie ich an dieser
> Abbildungsvorschrift überprüfen soll.
Hallo,
Deine Abbildung, welche ich mal f nenne, bildet ab aus dem VR der Polynome vom Höchstgrad 2 in den VR der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen.
In der oben angegebenen Weise wird jedem Polynom eine Matrix zugeordnet.
Für die Linearität mußt Du nun prüfen, ob das Bild der Summe zweier Polynome die Summe der Bilder ist, und ob das Bild des Vielfachen eines Polynoms stets das Vielfache des Bildes dieses Polynoms ist.
Konkret:
Du mußt für [mm] p:=ax^2+bx+c [/mm] und [mm] q:=dx^2+ex+g [/mm] nachschauen, ob
f(p+q)=f(p)+f(q),
und ob für alle reellen Zahlen r gilt, daß
f(rp)=rf(p).
Tip: bei linearen Abbildungen wird stets die Null des Urbildraumes auf die Null des Bildraumes abgebildet...
Gruß v. Angela
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Es muss also gelten:
[mm] f((ax^2+bx+c)+(dx^2+ex+g))= f(ax^2+bx+c)+f(dx^2+ex+g)
[/mm]
im ersten Teil kann ich es dann folgendermaßen schreicben:
[mm] f((a+d)x^2+(b+e)x+(c+g))
[/mm]
Dann müsste ja gelten laut meiner Matrix : a+d =0; a-2 = b+e........oder?
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> Es muss also gelten:
> [mm]f((ax^2+bx+c)+(dx^2+ex+g))= f(ax^2+bx+c)+f(dx^2+ex+g)[/mm]
Hallo,
ja.
Jetzt rechne die linke und die rechte Seite getrennt aus und guck nach, ob's gleich ist.
> im
> ersten Teil kann ich es dann folgendermaßen schreicben:
> [mm]f((a+d)x^2+(b+e)x+(c+g))[/mm]
Genau.
> Dann müsste ja gelten laut meiner Matrix : a+d =0; a-2 =
> b+e........oder?
???
Die Abbildungsvorschrift war: [mm] f(\red{a}x^2+\green{b}x+\blue{c}):=\pmat{ 0 & \red{a}-2 \\ 0 & -\green{b}+\blue{c} } [/mm] .
(Die Farben sind wichtiger als die Buchstaben)
Also ist
[mm] $f(\red{(a+d)}x^2+\green{(b+e)}x+\blue{(c+g)})$=\pmat{ 0 & ... \\ 0 & ...} [/mm]
und
[mm] f(ax^2+bx+c)+f(dx^2+ex+g)=\pmat{ 0 & ... \\ 0 & ...} +\pmat{ 0 & ... \\ 0 & ...} =\pmat{ 0 & ... \\ 0 & ...} [/mm] .
Jetzt vergleiche.
Gruß v. Angela
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Erst einmal vielen Dank für die Mühe, die du dir machst.
Ich verstehe es aber leider immer noch nicht :-(
Es müsste doch dann gelten:
[mm] f((a+d)x^2+(b+c)x+(c+g))= \pmat{ 0 & a+d-2 \\ 0 & -b-c+c+g }
[/mm]
Außerdem:
[mm] f(ax^2+bx+c)+f(dx^2+ex+g)=\pmat{ 0 & a-2 \\ 0 & -b+c }+\pmat{ 0 & d-2 \\ 0 & -e+g }
[/mm]
Aber:
[mm] \pmat{ 0 & a+d-2 \\ 0 & -b-c+c+g } [/mm] ist ungleich [mm] \pmat{ 0 & a+d-4 \\ 0 & -b+c-e+g }
[/mm]
Somit wäre es keine lineare Abbildung. Ist das richtig?
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> Erst einmal vielen Dank für die Mühe, die du dir machst.
> Ich verstehe es aber leider immer noch nicht :-(
Doch!
Du hast es richtig gemacht.
> Es müsste doch dann gelten:
> [mm]f((a+d)x^2+(b+c)x+(c+g))= \pmat{ 0 & a+d-2 \\
0 & -b-c+c+g }[/mm]
>
> Außerdem:
> [mm]f(ax^2+bx+c)+f(dx^2+ex+g)=\pmat{ 0 & a-2 \\
0 & -b+c }+\pmat{ 0 & d-2 \\
0 & -e+g }[/mm]
>
> Aber:
> [mm]\pmat{ 0 & a+d-2 \\
0 & -b-c+c+g }[/mm] ist ungleich [mm]\pmat{ 0 & a+d-4 \\
0 & -b+c-e+g }[/mm]
>
> Somit wäre es keine lineare Abbildung. Ist das richtig?
Ja, denn die Gleichheit müßte für beliebige a,..., g gelten, und das tut sie nicht.
Rechne für Deine Chefs nun an einem konkreten Zahlenbeispiel vor, daß es nicht klappt, widerlege die Linearität also durch ein Beipiel.
Gruß v. Angela
>
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Wie zeigt man es nun an dieser Abbildungen, die ja vom VR 2x" Matrizen in den 1x3-er geht
[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & c}-->\vektor{a-c \\ 3b\\-2a+2c}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mi 07.09.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Wie zeigt man es nun an dieser Abbildungen, die ja vom VR
> 2x" Matrizen in den 1x3-er geht
> [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & c}-->\vektor{a-c \\ 3b\\-2a+2c}?[/mm]
Wenn die obige Abbildung p heißt, also
[mm]p \left( \pmat{ a & b \\ 0 & c} \right) = \vektor{a-c \\ 3b\\-2a+2c}[/mm],
nimmst Du 2 beliebige 2x2-Matizen mit der vorgegebenen Eigenschaft [mm] $\pmat{ a & b \\ 0 & c}$ [/mm] und [mm] $\pmat{ d & e \\ 0 & f}$,
[/mm]
und berechnest [mm] $p\left( \pmat{ a & b \\ 0 & c} + \pmat{ d & e \\ 0 & f} \right)$ [/mm] (1)
und
$p [mm] \left(\pmat{ a & b \\ 0 & c}\right) [/mm] +p [mm] \left( \pmat{ d & e \\ 0 & f}\right)$. [/mm] (2)
Wenn dabei dasselbe raus kommt, und noch
[mm] $\alpha [/mm] * p [mm] \left( \pmat{ a & b \\ 0 & c} \right) [/mm] = p [mm] \left( \alpha * \pmat{ a & b \\ 0 & c} \right)$, [/mm] (3)
so ist p linear.
Dazu braucht es:
* Wie werden Matrizen addiert? (bei (1) )
* Wie multipliziert man einen Skalar mit einer Matrix? (bei (3) )
* Wie addiert man Vektoren? (bei (2) )
* Wie multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar? (bei (3) )
Gruß
meili
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Danke , hat alles gepasst und ist somit linear
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