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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | Zeige, dass folgende Abbildungen linear sind:
a) Sei V := [mm] Abb(\IN,\IR) [/mm] Betrachte die Abbildung
f: V [mm] \to [/mm] V, [mm] (a_0,a_1,a_2,...) \mapsto (0,a_0,a_1,a_2,...)
[/mm]
b)
g: [mm] P_n \to \IR, \summe_{k=0}^{n} a_k [/mm] * [mm] x^k \mapsto \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k * 2^{k+1}}{k+1} [/mm] |
Einen schönen guten Abend!
Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
a) zz: (L1) T(u+v) = Tu + Tv [mm] \forall [/mm] u,v [mm] \in \IN
[/mm]
u,v [mm] \in [/mm] V
f(u + v) = [mm] (0,u_0,u_1,u_2,...) \mapsto (0,v_0,v_1,v_2,...) [/mm] = fu + fv
zz. (L2) [mm] T(\lambda [/mm] u) = [mm] \lambda [/mm] Tu [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] V
[mm] f(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda (0,v_0,v_1,v_2,...) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] fv
-> V ist linear
b)
(L1)
u,v [mm] \in P_n
[/mm]
g(u+v) = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{u_k * 2^{k+1}}{k+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{v_k * 2^{k+1}}{k+1} [/mm] = gu + gv
(L2)
[mm] g(\lambda [/mm] u) = [mm] \lambda \summe_{k=0}^{n} \bruch{u_k * 2^{k+1}}{k+1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] gu
Ist das so richtig? das kam mir irgendwie zu leicht vor
Vielen Dank!
lg Balodil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Fr 02.12.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Zeige, dass folgende Abbildungen linear sind:
>
> a) Sei V := [mm]Abb(\IN,\IR)[/mm] Betrachte die Abbildung
>
> f: V [mm]\to[/mm] V, [mm](a_0,a_1,a_2,...) \mapsto (0,a_0,a_1,a_2,...)[/mm]
>
> b)
> g: [mm]P_n \to \IR, \summe_{k=0}^{n} a_k[/mm] * [mm]x^k \mapsto \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k * 2^{k+1}}{k+1}[/mm]
>
> Einen schönen guten Abend!
>
> Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
> a) zz: (L1) T(u+v) = Tu + Tv [mm]\forall[/mm] u,v [mm]\in \IN[/mm]
>
> u,v [mm]\in[/mm] V
> f(u + v) = [mm](0,u_0,u_1,u_2,...) \mapsto (0,v_0,v_1,v_2,...)[/mm]
hier scheinst du ein wenig durcheinander gekommen zu sein beim Aufschreiben.
> = fu + fv
Das ist zu zeigen, stimmt. Du musst aber auch Zwischenschritte angeben, so z.B.
[mm]u=(u_0,u_1,u_2,...)[/mm]
[mm]v=(v_0,v_1,v_2,...)[/mm]
[mm]f(u+v)=(0,u_0+v_0,u_1+v_1,u_2+v_2,...)=(0,u_0,u_1,u_2,...)+(0,v_0,v_1,v_2,...)=f(u)+f(v)[/mm]
> zz. (L2) [mm]T(\lambda[/mm] u) = [mm]\lambda[/mm] Tu [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V,
> [mm]\lambda \in[/mm] V
>
> [mm]f(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda (0,v_0,v_1,v_2,...)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] fv
Auch hier: [mm]f(\lambda*v)=(0,\lambda*v_1,...)=\lambda*(0,v_1,...)=\lambda*f(v)[/mm]
>
> -> V ist linear
>
> b)
> (L1)
> u,v [mm]\in P_n[/mm]
> g(u+v) = ... = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{u_k * 2^{k+1}}{k+1}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{v_k * 2^{k+1}}{k+1}[/mm] = gu + gv
Auch hier fehlen (...) entscheidende Zwischenschritte. Auch, wenn diese auf den ersten Blick logisch erscheinen, sind sie doch - wichtigster Teil der Lösung und deshalb - anzugeben.
>
> (L2)
> [mm]g(\lambda[/mm] u) = ... = [mm]\lambda \summe_{k=0}^{n} \bruch{u_k * 2^{k+1}}{k+1}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] gu
Siehe oben.
> Ist das so richtig? das kam mir irgendwie zu leicht vor
Was du zeigen musst, weißt du bereits. Das ist schon mal die halbe Miete. Du hast jedoch wichtige Zwischenschritte in deinen Rechnungen vergessen, die dir vielleicht logisch erscheinen, aber der wichtigste Teil der Lösung sind.
> Vielen Dank!
> lg Balodil
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Balodil |
ahhh daran habe ich nicht gedacht :). Vielen Dank!!!
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Ich habe nur eine kurze Frage zur Notation.
Man könnte doch [mm] (a_0 ,a_1 ,a_2 ,...,a_n) [/mm] auch als Vektor schreiben oder?
[mm] \vektor{ a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ . \\ . \\ a_n } [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe nur eine kurze Frage zur Notation.
>
> Man könnte doch [mm](a_0 ,a_1 ,a_2 ,...,a_n)[/mm] auch als Vektor
> schreiben oder?
>
> [mm]\vektor{ a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ . \\ . \\ a_n }[/mm]
Ja, das kannst Du, je nach Zusammenhang mußt Du aufpassen.
FRED
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