Lineare Abbildungen bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 So 10.01.2010 | | Autor: | ana86 |
| Aufgabe | Es seien a1:= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ -2}, [/mm] a2:= [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 3} [/mm] und W:= [mm] Lin\{\vektor{1 \\ 3 \\ -1} \}.
[/mm]
a) Gib eine lineare Abbildung F: [mm] R^3 \to R^4 [/mm] mit Kern F=W und Bild F = Lin [mm] \{a1, a2\} [/mm] an. Ist F eindeutig bestimmt?
b) Bestimme für die unter a) gefundene lineare Abbildung F diejenige 4*3-Matrix A, für die F = FA gilt. |
Bei dieser Aufgabe weiss ich nicht, wie ich vorgehen soll. Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien a1:= [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ -2},[/mm] a2:= [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 3}[/mm]
> und W:= [mm]Lin\{\vektor{1 \\ 3 \\ -1} \}.[/mm]
> a) Gib eine lineare
> Abbildung F: [mm]R^3 \to R^4[/mm] mit Kern F=W und Bild F = Lin
> [mm]\{a1, a2\}[/mm] an.
Hallo,
wenn W der Kern von F sein soll,
worauf muß dann [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ -1} [/mm] abgebildet werden?
Wenn [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] das Bild aufspannen sollen,
dann müssen natürlich Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] darauf abgebildet werden.
Such Dir eine passende Basis des [mm] \IR^3 [/mm] und definiere
[mm] F(\vektor{1 \\ 3 \\ -1}):=?
[/mm]
[mm] F(?):=a_1
[/mm]
[mm] F(?):=a_2.
[/mm]
Gruß v. Angela.
> Ist F eindeutig bestimmt?
> b) Bestimme für die unter a) gefundene lineare Abbildung
> F diejenige 4*3-Matrix A, für die F = FA gilt.
> Bei dieser Aufgabe weiss ich nicht, wie ich vorgehen soll.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Catmax |
Hallo!
Ich hänge gerade an der selben Aufgabe fest. Vielleicht kann ich noch ein paar Tipps dazu bekommen?
> [mm]F(\vektor{1 \\ 3 \\ -1}):=?[/mm]
>
> [mm]F(?):=a_1[/mm]
>
> [mm]F(?):=a_2.[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ -1} [/mm] wird abgebildet auf [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] weil es ja der Kern ist.
Eine Basis des [mm] \IR³ [/mm] wäre ja [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}; \vektor{0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, [/mm] also die drei Einheitsvektoren.
Das hieße, dass
F [mm] (x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3})=a_{1}
[/mm]
F [mm] (x_{4}e_{1}+x_{5}e_{2}+x_{6}e_{3})=a_{2}
[/mm]
ist, oder?
Wie geht es dann weiter?
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> Hallo!
> Ich hänge gerade an der selben Aufgabe fest. Vielleicht
> kann ich noch ein paar Tipps dazu bekommen?
>
> > [mm]F(\vektor{1 \\ 3 \\ -1}):=?[/mm]
> >
> > [mm]F(?):=a_1[/mm]
> >
> > [mm]F(?):=a_2.[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ -1}[/mm] wird abgebildet auf [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},[/mm]
> weil es ja der Kern ist.
Genau. Hier at man keine Wahl.
>
> Eine Basis des [mm]\IR³[/mm] wäre ja [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}; \vektor{0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1},[/mm]
> also die drei Einheitsvektoren.
Ja. Aber es gibt natürlich auch noch viele andere Basen.
Es wäre nun geschickt, den Vektor [mm] \vektor{1\\3\\-1} [/mm] durch zwei weitere Vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zu ergänzen.
Diesen Ergänzungsvektoren weise dann die Funktionswerte [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] zu.
Damit liegt Deine lineare Abbildung dann fest, und Du kannst aufgrund der Linearität für jedes Element aus [mm] \IR^3 [/mm] sein Bild unter F angeben.
Ob es nur eine solche Abbildung gibt, oder ob es verschiedene Abbildungen gibt, die den vorgegebenen Kern und das vorgegebene Bild haben, solltest Du aufgrund der Konstruktion entscheiden können.
Gruß v. Angela
>
> Das hieße, dass
>
> F [mm](x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3})=a_{1}[/mm]
> F [mm](x_{4}e_{1}+x_{5}e_{2}+x_{6}e_{3})=a_{2}[/mm]
>
> ist, oder?
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> Wie geht es dann weiter?
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>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Catmax |
Dankeschön!
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