Lineare Abhängigkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:13 Mo 10.03.2008 | | Autor: | chirion |
| Aufgabe | Stellen sie fest ob die Spaltenvektoren folgender Matrizen linear abhängig sind:
[mm] a)\pmat{2&-2&0\\3&8&1\\7&5&4}
[/mm]
[mm] b)\pmat{1&2&5\\2&4&-1\\3&6&3} [/mm] |
Hallo,
ich habe heute versucht mir einen Lösungsweg zu diesen Beispielen zu suchen.
Ich habe zunächst die Matrizen umgestellt, so dass die Spaltenvektoren zu Zeilenvektoren werden:
[mm] \pmat{2&3&7\\-2&8&5\\0&1&4}
[/mm]
und
[mm] \pmat{1&2&3\\2&4&6\\5&-1&3}
[/mm]
Hier habe ich für a) und b) die Determinanten berechnet. Für a) erhalte ich hier 64. So ich das richtig verstanden habe bedeutet eine Determinante [mm] \not= [/mm] 0, dass die Matrix regulär ist, und linear unabhängig.
Bei der zweiten Matrix erhalte ich 0 als Determinante. Hier war ich nicht sicher, ob das automatisch bedeutet das die Zeilenvektoren linear abhängig sind.
Auf [mm] \vec{a_{1}}x+\vec{a_{2}}y+\vec{a_{3}}z=0 [/mm] aufbauend habe ich folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
[mm]
I:x+2y+3z=0
[/mm]
[mm]
II:2x+4y+6z=0
[/mm]
[mm]
III:5x-y+3z=0
[/mm]
Ohne jetzt etwas damit zu rechnen, sehe ich das Gleichung II ein Vielfaches von Gleichung I ist. Gleichung III steht offenbar in keinem solchen Verhältnis zu I oder II.
Hat die Matrix b) somit den Rang 2? Ist das auch schon die Lösung, oder wie muss ich da genau vorgehen?
Vielen Dank!!
Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:47 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> Ich habe zunächst die Matrizen umgestellt, so dass die Spaltenvektoren zu Zeilenvektoren werden.
Völlig sinnlos.
Es gilt : Zeilenrang=Spaltenrang
D.h. wenn es lin.abh. Zeilen gibt, dann auch genausoviele lin.abh. Spalten.
Die Determinaten stimmen.
Determinante [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Die Matrix hat max. Rang.
Determinante =0 [mm] \Rightarrow [/mm] Die Matrix hat nicht max. Rang. Es gibt also lin.Abhängigkeit.
Danach den Gaußalgorithmus durchführen. Die Anzahl der übrigbleibenden Zeilen [mm] \not= [/mm] 0 ist der Rang der Matrix.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Mo 10.03.2008 | | Autor: | chirion |
Hallo,
ich habe jetzt versucht den Gaußalgorithmus bei Matrix b) anzuwenden.
Meine Matrix sieht also so aus
1 2 5|0
2 4 -1|0
3 6 3|0
Die erste Zeile habe ich mit -2 multipliziert und zur zweiten hinzuaddiert.
1 2 5|0
0 0 -11|0
3 6 3|0
Hier habe ich die erste Zeile mit -3 mutlipliziert und zur dritten Zeile addiert.
1 2 5|0
0 0 -11|0
0 0 -12|0
Ich habe jetzt zwei Fragen:
1. Wie deute ich das Ergebnis - ich möchte ja eigentlich wissen ob die Matrizen linear abhängig sind.
2. Bei allen "Anleitungen" zum Gauß Algorithmus haben die Zeilen der verwendeten Matrizen die Form ax+by+cz=k. Bei mir ist das aber ax+by+cz=0. Ist das eben so, oder muss ich mit meiner Ausgangsmatrix noch etwas anstellen bevor ich das Gauß-Verfahren anwenden kann?
Tut mir leid wenn ich hier diese, offenbar, trivialen Fragen stelle, aber ich muss gestehen, ich hab das Gymnasium vor mehr als zehn Jahren abgeschlossen, und seither nie wieder was mit Mathe zu tun gehabt. Ich fange also quasi bei Null an wieder.
Viele Grüße
Chris
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> Hallo,
>
> ich habe jetzt versucht den Gaußalgorithmus bei Matrix b)
> anzuwenden.
> Meine Matrix sieht also so aus
> 1 2 5|0
> 2 4 -1|0
> 3 6 3|0
>
> Die erste Zeile habe ich mit -2 multipliziert und zur
> zweiten hinzuaddiert.
>
> 1 2 5|0
> 0 0 -11|0
> 3 6 3|0
>
> Hier habe ich die erste Zeile mit -3 mutlipliziert und zur
> dritten Zeile addiert.
>
> 1 2 5|0
> 0 0 -11|0
> 0 0 -12|0
Hallo,
das hat gut angefangen, jetzt bringen wir es auch noch zu einem guten Ende:
2.Zeile durch -11 dividieren, dritte Zeile durch -12:
[mm] \pmat{ 1 & 2&5 \\ 0 & 0&-11\\0 & 0&-12} [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2&5 \\ 0 & 0&1\\0 & 0&1}
[/mm]
Jetzt noch die 3. von der 2. subtrahieren:
...--> [mm] \pmat{ 1 & 2&5 \\ 0 & 0&1\\0 & 0&0}.
[/mm]
Nun ist die Zeilenstufenform fertig.
Wir sehen: 2 Nichtnullzeilen ==> der Rang der Matrix=2
Wir können hieraus ablesen:
Der Rang der Matrix ist ungleich der Anzahl der Spalten, also sind unsere drei Startvektoren linear abhängig.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und in der 3. Spalte. Also sind der 1. und 3. der Startvektoren linear unabhängig.
> Ich habe jetzt zwei Fragen:
> 1. Wie deute ich das Ergebnis
s.o.
> - ich möchte ja eigentlich
> wissen ob die Matrizen linear abhängig sind.
Himmel hilf! Nein!
Du wolltest wissen, ob die Spaltenvektoren der Matrix linear unabhängig sind.
>
> 2. Bei allen "Anleitungen" zum Gauß Algorithmus haben die
> Zeilen der verwendeten Matrizen die Form ax+by+cz=k. Bei
> mir ist das aber ax+by+cz=0. Ist das eben so, oder muss ich
> mit meiner Ausgangsmatrix noch etwas anstellen bevor ich
> das Gauß-Verfahren anwenden kann?
Du mußt nichts anstellen. Bei Dir ist k=0, Du hast ein homogenens GS vorliegen.
Wenn das der Fall ist, kannst Du Dir die rechte Spalte sparen, da kann ja nie etwas anderes hinkommen als die Null. (Ich habe diese Spalte beim Umformen der Matrix weggelassen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mo 10.03.2008 | | Autor: | chirion |
Hallo Angela,
vielen Dank! Das war mir eine sehr große Hilfe - ich hatte ganz übersehen, dass die "Ecke" rechts unten auch zu 0 werden soll - was eigentlich logisch ist wenn je Zeile ein Element wegfallen soll. Das wäre mir wohl so nicht eingefallen.
Ich habe nur noch eine Frage zu dieser Sache:
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und in der 3. Spalte. Also sind der 1. und 3. der Startvektoren linear unabhängig.
Heißt das, weil ich [mm] \pmat{1\\0\\0} [/mm] nicht in [mm] \pmat{5\\1\\0} [/mm] überführen kann sind sie linear unabhängig. Und [mm] \pmat{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \pmat{2\\0\\0} [/mm] sind linear abhängig, weil sie sich mittels Multiplikation/Division mit zwei in einander überführen lassen?
Viele Grüße
Chris
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> Ich habe nur noch eine Frage zu dieser Sache:
>
> Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1.
> und in der 3. Spalte. Also sind der 1. und 3. der
> Startvektoren linear unabhängig.
Hallo,
Du kannst in der Zeilenstufenform ablesen, daß der der 1. und 3. der Startvektoren linear unabhängig sind, also [mm] \vektor{1\\ 2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{5\\ -1\\3}.
[/mm]
Den mittleren hingegen kansnt Du als Linearkombination der beiden schreiben.
> Heißt das, weil ich $ [mm] \pmat{1\\0\\0} [/mm] $ nicht in $ [mm] \pmat{5\\1\\0} [/mm] $ überführen kann sind sie linear unabhängig.
> Und $ [mm] \pmat{1\\0\\0} [/mm] $ und $ [mm] \pmat{2\\0\\0} [/mm] $ sind linear abhängig,
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mo 10.03.2008 | | Autor: | chirion |
Vielen Dank nochmals!
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