Lineare Abhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ich habe folgendes gelesen.
drei vektoren beispielsweise sind linear voneinander abhängig wenn die drei vektoren zusammen den nullvektor ergeben ohne dass die koeffizienten alle null sind.
geometrisch kann man sich das also so vorstellen dass ein vektor [mm] V_1 [/mm] aus zwei anderen Vektoren [mm] V_2 [/mm] und [mm] V_3 [/mm] mit entsprechenden koeffizienten gebildet werden kann, also durch eine evtl zusätzlich streckung und stauchung von [mm] V_2 [/mm] und [mm] V_3.
[/mm]
ist einer dieser in diesem fall drei vektoren durch die beiden anderen darstellbar ohne dass die koeffizienten null sind, so gelten die vektoren als linearabhängig.
jedoch heißt das nicht, dass man dadurch [mm] V_1 [/mm] durch [mm] V_2 [/mm] und [mm] V_3 [/mm] ... [mm] V_2 [/mm] durch [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_3 [/mm] ... [mm] V_3 [/mm] durch [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] darstellen kann. es kann sein dass nur einer dieser drei vektoren durch die beiden anderen darstellbar ist, dennoch werden sie trotzdem weiterhin als linearabhängig bezeichnet.
wie man sich das geometrisch erklärt versteh ich aber nicht.
wenn ich doch den Vektor [mm] V_1 [/mm] durch die beiden anderen vektoren darstellen kann, dann müsste es doch auch gehen dass ich [mm] V_2 [/mm] durch entsprechende stauchung bzw streckung durch [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_3 [/mm] darstellen kann und ebenfalls [mm] V_3 [/mm] durch [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2. [/mm]
(zur ergänzung)
weiterhin hab ich gelesen
"
zwei vektoren sind linear abhängig genau dann ,wenn sie auf einer geraden liegen.
drei vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie auf einer ebene liegen.
mehr als drei vektoren im raum sind stets linear abhängig
quelle:repetitorium der ingenieurmathematik teil 1"
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> ich habe folgendes gelesen.
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> drei vektoren beispielsweise sind linear voneinander
> abhängig wenn die drei vektoren zusammen den nullvektor
> ergeben ohne dass die koeffizienten alle null sind.
Mit anderen Worten: Wenn man mit ihnen eine nicht-triviale Nullsumme bilden kann.
>
> geometrisch kann man sich das also so vorstellen dass ein
> vektor [mm]V_1[/mm] aus zwei anderen Vektoren [mm]V_2[/mm] und [mm]V_3[/mm] mit
> entsprechenden koeffizienten gebildet werden kann, also
> durch eine evtl zusätzlich streckung und stauchung von [mm]V_2[/mm]
> und [mm]V_3.[/mm]
>
> ist einer dieser in diesem fall drei vektoren durch die
> beiden anderen darstellbar ohne dass die koeffizienten null
> sind, so gelten die vektoren als linearabhängig.
Die Definition von linear-abhängig geht in der Regel über diese Existenz einer nicht-trivialen Nullsumme. Dass sich im Falle von Linearer-Abhängigkeit mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darsellen lassen muss, ergibt sich einfach daraus, dass es ja einen Vektor geben muss, dessen skalarer Koeffizient in der Nullsumme nicht 0 ist. Nach diesem Vektor kann man deshalb die Nullsumme auflösen. Was die behauptete Darstellung dieses Vektors als Linearkombination der anderen Vektoren liefert.
> jedoch heißt das nicht, dass man dadurch [mm]V_1[/mm] durch [mm]V_2[/mm] und
> [mm]V_3[/mm] ... [mm]V_2[/mm] durch [mm]V_1[/mm] und [mm]V_3[/mm] ... [mm]V_3[/mm] durch [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2[/mm]
> darstellen kann. es kann sein dass nur einer dieser drei
> vektoren durch die beiden anderen darstellbar ist, dennoch
> werden sie trotzdem weiterhin als linearabhängig
> bezeichnet.
>
> wie man sich das geometrisch erklärt versteh ich aber
> nicht.
> wenn ich doch den Vektor [mm]V_1[/mm] durch die beiden anderen
> vektoren darstellen kann, dann müsste es doch auch gehen
> dass ich [mm]V_2[/mm] durch entsprechende stauchung bzw streckung
> durch [mm]V_1[/mm] und [mm]V_3[/mm] darstellen kann und ebenfalls [mm]V_3[/mm] durch
> [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2.[/mm]
Nein, dafür gibt es ein einfaches Gegenbeispiel. Nimm einfach zwei kollineare Vektoren [mm] $v_1, v_2$ [/mm] (beide [mm] $\neq [/mm] 0$) und einen dritten Vektor [mm] $v_3$, [/mm] der zu diesen Vektoren nicht kollinear ist (lässt sich in der Ebene ja sicher leicht bewerkstelligen). Wenn Du unbedingt ein ganz konkretes Beispiel dieser Art willst
[mm]v_1 := \pmat{1\\0},\qquad v_2 := \pmat{2\\0},\qquad v_3 := \pmat{0\\1}[/mm]
Dann lässt sich zwar [mm] $v_1$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] darstellen [mm] ($v_3$ [/mm] wird dazu aber eigentlich gar nicht benötigt), und man kann natürlich auch [mm] $v_2$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] darstellen [mm] ($v_3$ [/mm] wird auch in diesem Falle gar nicht benötigt). Aber [mm] $v_3$ [/mm] lässt sich nicht als Linearkombination von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] darstellen, weil eine solche Linearkombination immer nur einen zu [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] kollinearen Vektor liefern kann - was ja nach Voraussetzung für [mm] $v_3$ [/mm] nicht der Fall ist.
> (zur ergänzung)
> weiterhin hab ich gelesen
> "
> zwei vektoren sind linear abhängig genau dann ,wenn sie
> auf einer geraden liegen.
>
> drei vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie
> auf einer ebene liegen.
>
> mehr als drei vektoren im raum sind stets linear abhängig
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> quelle:repetitorium der ingenieurmathematik teil 1"
Und? findest Du diese Aussagen wenigstens einleuchtend? oder erklärungsbedürftig? oder ... oder ...?
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> > ich habe folgendes gelesen.
> >
> > drei vektoren beispielsweise sind linear voneinander
> > abhängig wenn die drei vektoren zusammen den nullvektor
> > ergeben ohne dass die koeffizienten alle null sind.
> Mit anderen Worten: Wenn man mit ihnen eine nicht-triviale
> Nullsumme bilden kann.
> >
ich sehe in den ganzen mathematikbüchern immer tirviale lösung nicht triviale lösung stehen. was versteht man denn genau unter dem begriff trivial. bedeutet triviale lösung also dass die lösung null ist und das kommt davon weil eine lösung in bestimmten fällen nur gebildet werden kann, indem die koeffizienten alle null sind.
kurz zusammengefasst.
trivial = alle koeffizienten sind null;
ergebnis ist null.
>
> > (zur ergänzung)
> > weiterhin hab ich gelesen
> > "
> > zwei vektoren sind linear abhängig genau dann ,wenn sie
> > auf einer geraden liegen.
> >
> > drei vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie
> > auf einer ebene liegen.
> >
> > mehr als drei vektoren im raum sind stets linear abhängig
> >
> > quelle:repetitorium der ingenieurmathematik teil 1"
>
> Und? findest Du diese Aussagen wenigstens einleuchtend?
> oder erklärungsbedürftig? oder ... oder ...?
hehe ja das hab ich verstanden, wollte dass nur der ergänzung halber hinschreiben ^^
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> > > ich habe folgendes gelesen.
> > >
> > > drei vektoren beispielsweise sind linear voneinander
> > > abhängig wenn die drei vektoren zusammen den nullvektor
> > > ergeben ohne dass die koeffizienten alle null sind.
> > Mit anderen Worten: Wenn man mit ihnen eine
> nicht-triviale
> > Nullsumme bilden kann.
> > >
>
>
> ich sehe in den ganzen mathematikbüchern immer tirviale
> lösung nicht triviale lösung stehen. was versteht man denn
> genau unter dem begriff trivial. bedeutet triviale lösung
> also dass die lösung null ist und das kommt davon weil eine
> lösung in bestimmten fällen nur gebildet werden kann, indem
> die koeffizienten alle null sind.
Angenommen, Du hast die Aufgabe zu untersuchen, welche Nullsummen (Linearkombinationen, die den Nullvektor ergeben) sich mit einer vorgegebenen Liste von Vektoren bilden lassen, dann kann dies vielleicht mehr oder weniger mühsame Arbeit sein. - Bis auf einen speziellen Fall, den es immer gibt (und den nennt man den "trivial", im Sinne von sehr leicht zu finden): den Fall, dass man eine Linearkombination der Vektoren bildet, in der alle Vektoren mit dem Skalar 0 multipliziert werden. Dann ist natürlich die Linearkombination in jedem Falle eine Nullsumme. - Dieser triviale Fall sagt also rein gar nichts aus über die Frage, ob sich gewisse dieser Vektoren mit Hilfe der anderen ausdrücken lassen.
>
> kurz zusammengefasst.
> trivial = alle koeffizienten sind null;
> ergebnis ist null.
Um, ja. Diese Redeweise von wegen "trivial" hat ja auch eine Beziehung zum Lösen homogen-linearer Gleichungssysteme. Wie Du sicher schon hast feststellen müssen, ist das Lösen von homogen-linearen Gleichnungssystemen [mm] $A\vec{x}=\vec{0}$, [/mm] unter Umständen durchaus recht harte Arbeit. Die Koordinaten einer Lösung [mm] $\vec{x}$ [/mm] dieses Gleichungssystems, liefert gerade die Skalare, die die Spaltenvektoren von $A$ zu einer Nullsumme linear-kombinieren.
Eine Lösung, eben die "triviale", eines homogen-linearen Gleichungssystem hat man also immer ohne jede Rechnung gleich zur Hand: [mm] $\vec{x}=\vec{0}$.
[/mm]
> > > (zur ergänzung)
> > > weiterhin hab ich gelesen
> > > "
> > > zwei vektoren sind linear abhängig genau dann ,wenn
> sie
> > > auf einer geraden liegen.
> > >
> > > drei vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie
> > > auf einer ebene liegen.
> > >
> > > mehr als drei vektoren im raum sind stets linear abhängig
> > >
> > > quelle:repetitorium der ingenieurmathematik teil 1"
> >
> > Und? findest Du diese Aussagen wenigstens einleuchtend?
> > oder erklärungsbedürftig? oder ... oder ...?
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>
> hehe ja das hab ich verstanden, wollte dass nur der
> ergänzung halber hinschreiben ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 04.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
gut das hab ich verstanden thx.
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