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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 15.03.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren [mm] v_i \in \IR^4, [/mm] i=1,2,3, mit
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\-3\\-4}, v_2=\vektor{1\\-2\\3\\-2} ,v_3 [/mm] = [mm] \vektor{a\\4\\-6\\1}, a\in \IR
[/mm]
1.
Für welche a ist das System S = [mm] {v_1,v_2,v_3} [/mm] linear abhängig, für welche a linear unabhängig? Begründe
2.
S sei Erzeugendensystem eines Untervektorraumes [mm] U\subseteq\IR^4. [/mm] Gebensie die Dimension von U in Abhängigkeit von a an |
zu 1
Ich weis es ist sicher einfach, aber Hilfe ist trotzdem von Nöten
Ich erstelle doch eigentlich einfach eine Matrix aus den Vektoren und bringen die Matrix mit den Umformungsschritten des Gaußschen Eliminationsverfahrens in die Staffelform,oder ?
Das würde dann bei mir dann so aussehen.
1 1 a
0 -2 2-a
0 0 3+3a
0 0 0
Dann wäre doch für a=-1 der Rg(A)=2 und somit kleiner als die Anzahl der Vektoren und somit linear abhängig
für a [mm] \not= [/mm] -1 wären das System linear unabhängig.
zu 2.
Hier hab ich immer meine Probleme.
Ich hab also für a = -1 den Rg(A) = 2, Also 2 unabhängige Vektoren.
Und daraus muss ich doch dann irgendwie die Dimension bestimmen.
Könnt ihr mir sagen wie? Oder liege ich hier komplett falsch ?
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Hallo marc1001,
> Gegeben seien die Vektoren [mm]v_i \in \IR^4,[/mm] i=1,2,3, mit
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1\\2\\-3\\-4}, v_2=\vektor{1\\-2\\3\\-2} ,v_3[/mm]
> = [mm]\vektor{a\\4\\-6\\1}, a\in \IR[/mm]
>
> 1.
> Für welche a ist das System S = [mm]{v_1,v_2,v_3}[/mm] linear
> abhängig, für welche a linear unabhängig? Begründe
>
> 2.
> S sei Erzeugendensystem eines Untervektorraumes
> [mm]U\subseteq\IR^4.[/mm] Gebensie die Dimension von U in
> Abhängigkeit von a an
> zu 1
> Ich weis es ist sicher einfach, aber Hilfe ist trotzdem
> von Nöten
>
>
> Ich erstelle doch eigentlich einfach eine Matrix aus den
> Vektoren und bringen die Matrix mit den Umformungsschritten
> des Gaußschen Eliminationsverfahrens in die
> Staffelform,oder ?
Ja.
>
> Das würde dann bei mir dann so aussehen.
>
> 1 1 a
> 0 -2 2-a
> 0 0 3+3a
> 0 0 0
>
> Dann wäre doch für a=-1 der Rg(A)=2 und somit kleiner als
> die Anzahl der Vektoren und somit linear abhängig
>
> für a [mm]\not=[/mm] -1 wären das System linear unabhängig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu 2.
> Hier hab ich immer meine Probleme.
> Ich hab also für a = -1 den Rg(A) = 2, Also 2 unabhängige
> Vektoren.
> Und daraus muss ich doch dann irgendwie die Dimension
> bestimmen.
>
> Könnt ihr mir sagen wie? Oder liege ich hier komplett
> falsch ?
Die Dimension gibt die Anzahl linear unabhängiger Vektoren an.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 15.03.2009 | | Autor: | marc1001 |
das ist alles?
Also für a=-1 ist die Dimension 2 und für [mm] a\not= [/mm] -1 ist die dimension 3 ?
War da nicht irgendwas mit Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation?
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> das ist alles?
>
> Also für a=-1 ist die Dimension 2 und für [mm]a\not=[/mm] -1 ist die
> dimension 3 ?
>
> War da nicht irgendwas mit Abgeschlossenheit bezüglich
> Addition und Multiplikation?
Hallo,
ja, da war sowas - aber das war für eine andere Aufgabenstellung:
"Zeige, daß U ein Unterraum von irgendwas ist."
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 15.03.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ach ja, stimmt. Das Erzeugendendsystem ist ja schon gegeben.
Dankeschön.
Ich hab aber noch eine weitere Frage:
Mit welchen Vektoren [mm] v_4,v_5 [/mm] ... kann ich das S zu einem Erzeugendensystem des [mm] \IR^4 [/mm] vervollständigen. (mit möglichst wenigen Vektoren und unabhängig von a) .
Muss ich hier! dann einen weitern Vektor finden der die Bedingung der Abgschlossenheit bezüglich +/* erfüllt ?
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> Ach ja, stimmt. Das Erzeugendendsystem ist ja schon
> gegeben.
> Dankeschön.
>
> Ich hab aber noch eine weitere Frage:
>
> Mit welchen Vektoren [mm]v_4,v_5[/mm] ... kann ich das S zu einem
> Erzeugendensystem des [mm]\IR^4[/mm] vervollständigen. (mit
> möglichst wenigen Vektoren und unabhängig von a) .
>
> Muss ich hier! dann einen weitern Vektor finden der die
> Bedingung der Abgschlossenheit bezüglich +/* erfüllt ?
Hallo,
nein, auch hier nicht.
Für a=-1 sind ja die ersten beiden Vektoren linear unabhängig, und Du mußt sie durch zwei Vektoren ergänzen so, daß die vier linear unabhängig sind.
Für [mm] a\not=-1 [/mm] sind die drei Vektoren linear unabhängig, und Du mußt sie durch einen Vektor ergänzen, so daß die vier linear unabhängig sind.
Als Ergänzungsvektoren kannst Du auf jeden Fall Basiseinheitsvektoren verwenden. mußt halt schauen, mit welchen es klappt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 15.03.2009 | | Autor: | marc1001 |
Und nochmal: Vielen DanK
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Hallo , ich geh zur Vorbereitung nochmal die Aufgaben durch, deswegen die Anfrage nach so langer Zeit.
Hier meine Frage.
Kann ich überhaupt ein Erzeugendsystem bilden, wenn ich für a = -1 einsetzte? Die Vektoren sind dann doch schon abhängig.
Ausserdem gibt es keinen 4ten Vektor der die Determinate [mm] \not= [/mm] 0 werden lässt.
Muss ich es dann mit einem 5ten vektor probieren ?
Das geht doch auch nicht, weil sonst der Rang immer kleiner ist als die Anzahl der Vekotren und ist somit wieder linear abhängig?
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> Hier meine Frage.
> Kann ich überhaupt ein Erzeugendsystem bilden, wenn ich für
> a = -1 einsetzte? Die Vektoren sind dann doch schon
> abhängig.
Hallo,
zu "Erzeugendensystem" gehört immer, daß man sagt, wovon das ein Erzeugendensystem sein soll.
Die drei gegebenen Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] sind in jedem Fall ein Erzeugendensystem des von ihnen aufgespannten Unterraumes.
Für "Erzeugendensystem" ist ja auch nicht die lineare Unabhängigkeit gefordert.
> Ausserdem gibt es keinen 4ten Vektor der die Determinate
> [mm]\not=[/mm] 0 werden lässt.
> Muss ich es dann mit einem 5ten vektor probieren ?
> Das geht doch auch nicht, weil sonst der Rang immer
> kleiner ist als die Anzahl der Vekotren und ist somit
> wieder linear abhängig?
Geht es um die Vektoren, mit denen Du [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] ergänzen kannst zu einem Erzeugendensystem des [mm] \IR^4?
[/mm]
Du mußt einfach solche Vektoren hinzufügen, so daß in der Menge Deiner Vektoren eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] enthalten ist.
Ich hoffe, daß ich die Frage richtig verstanden habe.
Möglicherweise tust Du gut daran, Dir nochmal anzuschauen, was ein Erzeugendensystem ist und was eine Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ich soll doch mit den weiteren Vektoren [mm] v_4, v_5 [/mm] .... S zu einem Ezeugendensystem vervollständigen.
Ich dachte also, wenn ich einen 4. Vektor hinzunehme und das ganze linear unabhängig ist , habe ich einen Basis und deshalb ein Erzeugendensystem.
Wie kann ich den TEsten, ob es sich um ein Erzeugendsystem handelt, wenn ich es nicht über die Basis tue ?
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> Ich soll doch mit den weiteren Vektoren [mm]v_4, v_5[/mm] .... S zu
> einem Ezeugendensystem vervollständigen.
> Ich dachte also, wenn ich einen 4. Vektor hinzunehme und
> das ganze linear unabhängig ist , habe ich einen Basis und
> deshalb ein Erzeugendensystem.
Hallo,
ja, so ist das doch auch.
Für [mm] a\not=-1 [/mm] sind die drei unabhängig, und Du brauchst nur noch einen passenden vierten Vektor zu finden, so daß die vier unabhängig sind.
> Wie kann ich den TEsten, ob es sich um ein Erzeugendsystem
> handelt, wenn ich es nicht über die Basis tue ?
Über den Rang der Matrix, die die Vektoren in den Spalten enthält.
Für a=-1 mußt Du zwei ergänzende Vektoren finden, denn Du hattest ja festgestellt, daß die Dimension des von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] aufgespannten Unterraumes =2 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ok,
für [mm] a\not= [/mm] -1 ist das ja noch einfach. [mm] \vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] oder [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] wären wohl die einfachsten
Aber wie mach ich das für a=-1. Wie kann ich über den Rang bestimmen ob die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden.
Über die Basis klappt es glaub ich nicht, da hier keine Lineare unabhängigkeit mehr bewiesen werden kann.
Ich könnte auch versuchen mit den neuen Vektoren durch Linearkombination einen bestimmten Vektor darzustellen, oder?
Ich könnte das nur durch probieren, aber gibt es da nicht einen einfacheren Weg?
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Hallo marc1001,
> Ok,
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> für [mm]a\not=[/mm] -1 ist das ja noch einfach. [mm]\vektor{0\\1\\0\\0}[/mm]
> oder [mm]\vektor{0\\0\\1\\0}[/mm] wären wohl die einfachsten
>
> Aber wie mach ich das für a=-1. Wie kann ich über den Rang
> bestimmen ob die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden.
> Über die Basis klappt es glaub ich nicht, da hier keine
> Lineare unabhängigkeit mehr bewiesen werden kann.
> Ich könnte auch versuchen mit den neuen Vektoren durch
> Linearkombination einen bestimmten Vektor darzustellen,
> oder?
> Ich könnte das nur durch probieren, aber gibt es da nicht
> einen einfacheren Weg?
Nun, für a=-1, weisst Du, daß das System linear abhängig ist,
desweiteren weisst Du, daß der Rang in diesem Fall 2 ist,
d.h. es gibt 2 linear unabhängige Vektoren.
Und das heisst, daß Du aus den 3 gegebenen Vektoren 2 auswählen kannst.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
nur um nochmal sicher zu gehen.
ich könnte dann für [mm] v_4 =v_3 [/mm] und [mm] v_5=v_2 [/mm] nehmen ?
und das wäre dann ein Erzeugendensystem?
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Hallo marc1001,
> nur um nochmal sicher zu gehen.
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> ich könnte dann für [mm]v_4 =v_3[/mm] und [mm]v_5=v_2[/mm] nehmen ?
> und das wäre dann ein Erzeugendensystem?
Ja, das ist dann ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Jetzt muss ich nochmal nachfragen.
Wie kann es ein linear unabhängiges Erzeugendsystem sein.
Ich meine dann ist doch die Anzahl der Vektoren (5) größer als die Dimension des Raumes (4) und somit linear Abhängig.
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> Jetzt muss ich nochmal nachfragen.
>
> Wie kann es ein linear unabhängiges Erzeugendsystem sein.
>
> Ich meine dann ist doch die Anzahl der Vektoren (5) größer
> als die Dimension des Raumes (4) und somit linear
> Abhängig.
Hallo,
5 Vektoren, die einem 4-dimensionaln VR entstammen, können nicht linear unabhängig sein.
Wenn man Glück hat, sind sie ein Erzeugendensystem des 4-dimensionalen Raumes.
Aber in Deiner eigentlichen Frage war ja auch nicht die rede davon, daß Du zu einem linear unabhängigen Erzeugendensystem des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen sollst.
In dem Moment, wo v-1, [mm] v_2, v_3 [/mm] linear abhängig sind, kann das ja nicht klappen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Dachte ich mir. Aber warum hatte mathepower dann folgendes geschrieben:
Hallo marc1001,
> nur um nochmal sicher zu gehen.
>
> ich könnte dann für $ [mm] v_4 =v_3 [/mm] $ und $ [mm] v_5=v_2 [/mm] $ nehmen ?
> und das wäre dann ein Erzeugendensystem?
Ja, das ist dann ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Gruß
MathePower
Das Erzeugendsystem muss ja auch nicht linear unabhängig sein.
Irgenwie komm ich nicht aufn Trichter. Wie komme ich die Vektoren die zum Erzeugendensystem führen?
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> Dachte ich mir. Aber warum hatte mathepower dann folgendes
> geschrieben:
Hallo,
das kann natürlich am besten er selbst sagen.
Ich vermute: weil er nicht den ganzen Thread studiert hat, um nach der Fragestellung zu suchen.
Wie bereits gesagt: zu Erzeugendensystem gehört immer die Mitteilung, was erzeugt werden soll.
> Das Erzeugendsystem muss ja auch nicht linear unabhängig
> sein.
>
> Irgenwie komm ich nicht aufn Trichter. Wie komme ich die
> Vektoren die zum Erzeugendensystem führen?
Naja, [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] hast Du ja schon, und ich hatte Dir doch zuvor schonmal gesagt (glaube ich), daß Du sie durch Einheitsvektoren ergänzen kannst.
Eine Strategie wäre also, daß Du einfach so lange probierst, bis Du es geschafft hast, daß [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] mit zwei der Einheitsvektoren linear unabhängig sind. Der Aufwand ist endlich.
Eine andere Möglichkeit:
Wenn man [mm] pmat{1&1\\2&-2\\-3&3\\-4&-2} [/mm] auf ZSF bringt, bekommt man [mm] pmat{1&1\\0&1\\0&0\\0&0}, [/mm] und man kann sich überlegen, daß wohl [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] eine passende Ergänzung wären.
Möglicherweise arbeitet Ihr auch mit der transponierten Matrix, "legt" also die Vektoren in Zeilen? Auch hier wird, wenn die Matrix auf ZSF gebracht ist, augenfällig, womit man ergänzen kann.
Kann - nicht: muß. Es gibt mehrere Möglichkeiten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Danke für deine Mühe.
ich werde es erstmal Ruhen lassen und morgen wieder drüber nachdenken.
Aber eins muss ich trotzdem wissen. Ein Erzeugendsystem muss nicht linear unabhängig sein. Es muss nur einen Raum aufspannen sowie durch Linearkombination einen beliebigen Vektor darstellen können. Ist das soweit richtig?
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> Aber eins muss ich trotzdem wissen. Ein Erzeugendsystem
> muss nicht linear unabhängig sein. Es muss nur einen Raum
> aufspannen sowie durch Linearkombination einen beliebigen
> Vektor darstellen können. Ist das soweit richtig?
Hallo,
ja.
Ein Erzeugendensystem eines raumes V erzeugt V durch Linearkombination der Vektoren im Erzeugendensystem.
Ein Erzeugendensystem von V, welches zusätzlich linear unabhängig ist, ist eine Basis von V.
Gruß v. Angela
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> Aber wie mach ich das für a=-1. Wie kann ich über den Rang
> bestimmen ob die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden.
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß nicht ganz klar ist, wovon Du ein Erzeugendensystem suchst.
Von dem von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] aufgespannten Raum hast Du ja schon eins - nämlich die drei Vektoren, da ist nichts mehr zu tun.
Die Frage ist nun doch, welche Vektoren Du hinzufügen mußt, um ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^4 [/mm] zu bekommen.
Du kannst der ZSF entnehmen, daß [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] eine Basis des aufgespannten Raumes sind, und diese gilt es nun zu ergänzen durch 2 Vektoren [mm] v_4 [/mm] und [mm] v_5, [/mm] so daß [mm] v_1, v_2, v_4, v_5 [/mm] linear unabhängig sind.
Wenn Du solche Vektoren [mm] v_4, [/mm] v-5 gefunden hast, dann ist [mm] \{v_1, ..., v_5\} [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^4, [/mm] welches [mm] \{v_1, v_2, v_3\} [/mm] enthält.
Das war doch gefragt, wenn ich mich recht entsinne.
Du hast, wenn Du diese beiden Vektoren gefunden hast, [mm] \{v_1, v_2, v_3\} [/mm] durch eine kleinstmögliche Menge von Vektoren zu einem Erzeugendensystem des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzt, denn wenn Du nur einen vektpor hinzufügen würdest, könnte die Dimension des aufgespannten Raumes ja höchstens =3 sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Also stimmt meine Antwort, daß die Dimension von U = 2 ist für a=-1
und Dim= 3 für a [mm] \not= [/mm] -1
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> Also stimmt meine Antwort, daß die Dimension von U = 2 ist
> für a=-1
> und Dim= 3 für a [mm]\not=[/mm] -1
Hallo,
ja, das stimmt. Du siehst es ja am Rang der Matrix.
Gruß v. Angela
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