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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
| Aufgabe | Man bestimme eine lineare Abb. f: [mm] \IR3 \to \IR2 [/mm] mit f((1,1,0) = (2,1), f((1,0,1)) = (1,3), f((0,1,2)) = (2,2). Wieso gibt es nur eine solche Abbildung?
Bestimmen Sie [mm] f(\IR3) [/mm] und Ke(f). |
Also meine Überlegung:
Kann ich als erstes eine Matrix erstellen um damit [mm] \IR2 [/mm] zu bekommen und danach das Bild(f) bestimmen sowie den Kern(f)?
Allerdimgs fangen wir erst nächste Stunde mit Matrizen an und aus der Sek2 weiß ich nicht mehr soviel.
aber warum gibt es eine solche Abb. nur einmal?
Danke schon mal im Vorraus!
LG
GBen
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> Man bestimme eine lineare Abb. f: [mm]\IR3 \to \IR2[/mm] mit
> f((1,1,0) = (2,1), f((1,0,1)) = (1,3), f((0,1,2)) = (2,2).
> Wieso gibt es nur eine solche Abbildung?
> Bestimmen Sie [mm]f(\IR3)[/mm] und Ke(f).
> Also meine Überlegung:
> Kann ich als erstes eine Matrix erstellen
Ja! Die Matrix ist recht einfach zu erstellen
Sei B die Basis aus deinen Vektoren [mm] (1,1,0)^{T},(1,0,1)^{T},(0,1,2)^{T}.[/mm]
Wichtig ist dabei, dass diese eine Basis Bilden (das ist leicht nachzuprüfen - außerdem hat jeder vektor eine 0 dort stehen wo kein anderer Vektor eine hat =) )
Zum Erstellen der Matrix Schreibst du einfach die Bilder der Basisvektoren in die Spalten deiner Matrix.
2 1 2
1 3 2
Diese Matrix beschreibt jetzt eine LINEARE Abblidung vom R3 in den R2.
Hier kannst du dir den Bildbereich ausrechnen, indem du über die Matrix die Urbilder (deine 3 basisvektoren vom R3) schreiben.
1 1 0
1 0 1
0 1 2
____
2 1 2
1 3 2
Dann machst du Spaltenumformungen !immer oben und unten dieselben! (Spalten mit einem Skalar ungleich 0 multiplizieren und Spalten zueinander addieren bzw. spalten vertauschen - das entspricht nichts anderem als eine Linearkombination der Vektoren!)
und zwar so lange, bis du aus
2 1 2
1 3 2
eine Matrix folgender Form gemacht hast
1 0 0 bzw. 1 0 0
0 1 0 a 0 0
wobei a einfach irgendeine Zahl ist, die du durch solche Umformungen einfach nicht wegbekommst.
Nun kannst du Kern und Bildbereich einfach ablesen. denn der Bildbereich ist entweder ganz R2 oder die skalaren Vielfachen von (1,a)
> um damit [mm]\IR2[/mm] zu
> bekommen und danach das Bild(f) bestimmen sowie den
> Kern(f)?
>
> Allerdimgs fangen wir erst nächste Stunde mit Matrizen an
> und aus der Sek2 weiß ich nicht mehr soviel.
>
> aber warum gibt es eine solche Abb. nur einmal?
Die Antwort gibt dir der sogenannte "Fortsetzungssatz für lineare Abbildungen". Der Satz, der Matrizenrechnung eigentlich sinnvoll macht!
Der Satz besagt: Du hast eine Basis von deinem Vektorraum und irgendeine Funktion die jedem Basisvektor irgendeinen Vektor in einem anderen Vektorraum zuordnet, so gibt es eine EINDEUTIGE lineare Abbildung, die diese Funktion fortsetzt (d.h. wo die Bilder der Basisvektoren dieselben wie vorher sind, die aber linear ist)
Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume
Angenommen ich hätte eine Basis [mm] a_{i}\in V, i=1,...,n,[/mm]
und eine Abbildung [mm]\beta : {a_{i}:i=1,...,n}\to W: a_{i}\mapsto \beta(a_{i})[/mm]
Dann gibt es eine eindeutige lineare Abbildung f, die [mm]\beta[/mm] fortsetzt, das heißt [mm]f|_{{a_{i},i=1,...,n}}=\beta[/mm].
Also als erster Schritt musst dass es so eine Abbildung gibt:
Sei x aus V, dann kann ich x in eindeutiger Weise als Linearkombination der [mm] a_i [/mm] darstellen und dann wegen der Linearität von f kann ich dann für jedes x aus V ein Bild f(x) ermitteln, probiers einmal aus es ist nicht schwer.
Als zweiter Schritt muss man zeigen, dass diese Abbildung eindeutig ist:
Du musst zeigen: Gäbe es 2 lineare Abbildungen f und g die [mm] \beta [/mm] fortsetzen, dann sind die beiden gleich (ist eigentlich dasselbe was du oben schon geschrieben hast nur einmal mit f und einmal mit g, da folgt dann bereits die Gleichheit, weil für jedes x die Bilder gleich sind. Wichtig: Jeder Vektor besitzt bezüglich einer Basis eine EINDEUTIGE Linearkombination aus Basisvektoren!).
>
> Danke schon mal im Vorraus!
>
> LG
> GBen
MfG
Michael
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:20 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
Als erstes DANKE!
Es hat mich sehr weit gebracht und ich verstehe es auch sehr gut!
Allerdings hab ich noch eine Verständnisfrage:
> Dann machst du Spaltenumformungen !immer oben und unten
> dieselben! (Spalten mit einem Skalar ungleich 0
> multiplizieren und Spalten zueinander addieren bzw. spalten
> vertauschen - das entspricht nichts anderem als eine
> Linearkombination der Vektoren!)
>
> und zwar so lange, bis du aus
> 2 1 2
> 1 3 2
> eine Matrix folgender Form gemacht hast
> 1 0 0 bzw. 1 0 0
> 0 1 0 a 0 0
Wenn ich das so mache, wie bei einer LK, muss ich dann nur die 2 untersten Spalten berechnen oder auch die oberen?
LG
GBen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 10.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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