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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Do 12.03.2009 | | Autor: | llTodoll |
| Aufgabe | [mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] 4x_{3} [/mm] = 1
- [mm] 4x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] 6x_{2} [/mm] + [mm] µx_{3} [/mm] = 1
(a) Für welches µER hat das Gleichungssystem keine eindeutuge Lösung? Begründung!
(b) Lösen Sie das Gleuichungssystem mit dem Gauß´schen Eliminationsverfahren und geben SIe die Lösungsmenge in Abhängingkeit von µ an. Machen Sie, wenn nötig, eine Fallunterscheidung!
(c) Gibt es für den Fall µ=3 eine Lösung, die auch x2=1/4 erfüllt? Machen Sie die Probe. |
Hi an alle, so meine Frage ist wie geht man an so einer Aufgabe ran? Es ist leider irgendwie schon zu lange her. Wie bekomme ich heraus wann es keine eindeutige Lösung gibt? Wenn x3 beliebig ist oder so war das doch oder? Bitte hilft mir. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]4x_{3}[/mm] = 1
> - [mm]4x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]6x_{2}[/mm] + [mm]µx_{3}[/mm] = 1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Stelle zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und bringe sie mit dem Gaußalgorithmus in Zeilenstufenform.
Hieran kann man alles ablesen:
Rang der Matrix=3: eindeutige Lösung.
Rang der Koeffizientenmatrix [mm] \not= [/mm] Rang erweiterte Koeffmat.: keine Lösung
[mm] 2\ge [/mm] Rang der Koeffizientenmatrix = Rang erweiterte Koeffmat.: viele Lösungen.
Frage a) kannst Du auch mithilfe der det beantworten: wenn die Determinante =0 ist, gibt es keine eindeutige Lösung.
Ob es keine Lösung oder viele Lösungen gibt, muß man aber noch untersuchen anschließend.
Gruß v. Angela
>
> (a) Für welches µER hat das Gleichungssystem keine
> eindeutuge Lösung? Begründung!
> (b) Lösen Sie das Gleuichungssystem mit dem Gauß´schen
> Eliminationsverfahren und geben SIe die Lösungsmenge in
> Abhängingkeit von µ an. Machen Sie, wenn nötig, eine
> Fallunterscheidung!
> (c) Gibt es für den Fall µ=3 eine Lösung, die auch x2=1/4
> erfüllt? Machen Sie die Probe.
> Hi an alle, so meine Frage ist wie geht man an so einer
> Aufgabe ran? Es ist leider irgendwie schon zu lange her.
> Wie bekomme ich heraus wann es keine eindeutige Lösung
> gibt? Wenn x3 beliebig ist oder so war das doch oder? Bitte
> hilft mir. Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Do 12.03.2009 | | Autor: | llTodoll |
| Aufgabe | Also die erweiterte Koeffizientenform würde doch dann so aussehen oder:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & µ & 1 }
[/mm]
soo und dann würd ich sie auf die Treppenstufennform bringen die dann bei mir lautet:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6-4µ & -4 } [/mm] |
Oder vertuh ich mich grad mal völlig?
Aber wie gehts dann weiter wenn ich mich nicht richtig vertuh.
Dieses µ stört mich irgendwie gewaltig bei der Aufgabe.
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> Also die erweiterte Koeffizientenform würde doch dann so
> aussehen oder:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & µ & 1 }[/mm]
>
> soo und dann würd ich sie auf die Treppenstufennform
> bringen die dann bei mir lautet:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6-4µ & -4 }[/mm]
>
> Oder vertuh ich mich grad mal völlig?
Hallo,
eine ZSF ist das, aber Du hast Dich verrechnet.
Rechne nochmal, wenn Du es nicht hinbekommst, poste die Zwischenergebnisse mit.
> Aber wie gehts dann weiter wenn ich mich nicht richtig
> vertuh.
> Dieses µ stört mich irgendwie gewaltig bei der Aufgabe.
Tja, das [mm] \mu [/mm] ist halt der Witz bei der Aufgabe...
Mal angenommen, es wäre richtig:
überleg Dir nun, für welche [mm] \mu [/mm] der Rang =3 ist, und für welche nicht, und unter welchen Umständen sich der Rang der Koeffizientenmatrix von dem der erweiterten Koeffizienenmatrix unterscheidet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Do 12.03.2009 | | Autor: | llTodoll |
| Aufgabe | Ok also ich versuchs nochmal.
Ich habe das Gleichungssystem:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2*x_{2} [/mm] - [mm] 4*x_{3} [/mm] = 1
- [mm] 2*x_{2} [/mm] - [mm] 4*x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] 6*x_{2} [/mm] - [mm] µ*x_{3} [/mm] = 1
Damit hab ich eine Matrix A|b mit:
[mm] \pmat{1 & -2 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & -6 & µ & 1}
[/mm]
Die 3te Zeile würde ich zuerst mit -1 multiplizieren und mit Zeile 1 addieren (-1+Z3 + Z1). Es würde dann so aussehen:
[mm] \pmat{1 & -2 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -4+µ & 0}
[/mm]
danach würde ich die Zeile 3 und die Zeile 2 zusammenfassen (Z2+Z3)
[mm] \pmat{1 & -2 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3+µ & 0}
[/mm]
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Aber dann steh ich aufm Schlauch wie geht es weiter?
Was mache ich mit dem µ kannst du mir einmal dabei weiter helfen.
Hoffe ich hab mich nicht schon wieder verrechnet .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 12.03.2009 | | Autor: | llTodoll |
wäre es dann so:
-3 + µ = 0
µ = 3
Wäre das richtig ?
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> wäre es dann so:
> -3 + µ = 0
> µ = 3
>
> Wäre das richtig ?
Hallo,
ja, das wäre - wenn die Matrix richtig wäre - eine wesentliche überlegung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 So 15.03.2009 | | Autor: | hawe |
Zur Richtigstellung
[mm] $$\pmat{1 & -2 & -4 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 0\\ 1 & -6 & m & 1}\ [/mm] $$
A[3]:A[1][1]*A[3]-A[3][1]*A[1]$
A[2]:A[1][1]*A[2]-A[2][1]*A[1]$
[mm] $$\pmat{1 & -2 & -4 & 1\cr 0 & -4 & -1 & 0\cr 0 & -4 & m+4 & 0}$$
[/mm]
A[3]:A[2][2]*A[3]-A[3][2]*A[2]$
[mm] $$\pmat{1 & -2 & -4 & 1\cr 0 & -4 & -1 & 0\cr 0 & 0 & -4\,m-20 & 0}$$
[/mm]
[mm] $$x_{3}=x_{2}=0 [/mm] ; [mm] x_{1}=1$$
[/mm]
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> Ok also ich versuchs nochmal.
> Ich habe das Gleichungssystem:
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2*x_{2}[/mm] - [mm]4*x_{3}[/mm] = 1
> - [mm]2*x_{2}[/mm] - [mm]4*x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]6*x_{2}[/mm] - [mm]µ*x_{3}[/mm] = 1
>
> Damit hab ich eine Matrix A|b mit:
> [mm]\pmat{1 & -2 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & -6 & -µ & 1}[/mm]
>
> Die 3te Zeile würde ich zuerst mit -1 multiplizieren und
> mit Zeile 1 addieren (-1+Z3 + Z1). Es würde dann so
> aussehen:
> [mm]\pmat{1 & -2 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -4+µ & 0}[/mm]
>
> danach würde ich die Zeile 3 und die Zeile 2 zusammenfassen
> (Z2+Z3)
Hallo,
ich würde eher die Subtraktion empfehlen.
> [mm]\pmat{1 & -2 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3+µ & 0}[/mm]
>
> Aber dann steh ich aufm Schlauch wie geht es weiter?
> Was mache ich mit dem µ kannst du mir einmal dabei weiter
> helfen.
Wie bereits weiter oben geschrieben: untersuche nun den Rang in Abhängigkeit von [mm] \mu.
[/mm]
> Hoffe ich hab mich nicht schon wieder verrechnet .
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