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| Aufgabe | Seien X,Y Mengen und G:= Abb(X,Y) , H:=Abb(Y,X) , sowie [mm] Id_X [/mm] die Identität auf X und [mm] Id_Y [/mm] die Identität auf Y, d.h. [mm] Id_X(x)=x [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X und [mm] Id_Y(y)=y [/mm] für alle [mm] y\in [/mm] Y.
Zeigen Sie:
(a) Es ist f [mm] \in [/mm] G genau dann injektiv, wenn es ein g [mm] \in [/mm] H gibt, sodass g [mm] \circ [/mm] f = [mm] Id_X [/mm] ist.
(b) Es ist f [mm] \in [/mm] G genau dann surjektiv, wenn es ein g [mm] \in [/mm] H gibt, sodass f [mm] \circ [/mm] g = [mm] Id_Y [/mm] ist. |
Wie ist bei dieser Aufgabe der Lösungsansatz oder besser die Lösung? Ich verstehe auch nicht genau was es mit der Identität von X und Y auf sich hat. Wäre nett wenn ihr schnellstmöglich antworten könntet :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien X,Y Mengen und G:= Abb(X,Y) , H:=Abb(Y,X) , sowie
> [mm]Id_X[/mm] die Identität auf X und [mm]Id_Y[/mm] die Identität auf Y,
> d.h. [mm]Id_X(x)=x[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] X und [mm]Id_Y(y)=y[/mm] für alle
> [mm]y\in[/mm] Y.
> Zeigen Sie:
> (a) Es ist f [mm]\in[/mm] G genau dann injektiv, wenn es ein g [mm]\in[/mm]
> H gibt, sodass g [mm]\circ[/mm] f = [mm]Id_X[/mm] ist.
> (b) Es ist f [mm]\in[/mm] G genau dann surjektiv, wenn es ein g
> [mm]\in[/mm] H gibt, sodass f [mm]\circ[/mm] g = [mm]Id_Y[/mm] ist.
>
> Wie ist bei dieser Aufgabe der Lösungsansatz oder besser
> die Lösung? Ich verstehe auch nicht genau was es mit der
> Identität von X und Y auf sich hat. Wäre nett wenn ihr
> schnellstmöglich antworten könntet :)
na, [mm] $Id_X$ [/mm] ist einfach die Abbildung [mm] $Id_X: [/mm] X [mm] \to X\,,$ [/mm] die jedes Element
von [mm] $x\,$ [/mm] auf sich selbst abbildet: [mm] $Id_X(x)=x$ [/mm] für alle $x [mm] \in X\,.$
[/mm]
Du hast bei jeder Teilaufgabe zwei Richtungen zu zeigen (denn da steht
ja "genau dann, wenn", also [mm] $\gdw$):
[/mm]
Zu a):
a1): Beweis zu [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Zu zeigen ist: Unter der Voraussetzung, dass $f [mm] \in [/mm] G$ (das besagt
nichts anderes als, dass $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung ist!) injektiv ist, ist zu
zeigen, dass wir dann ein [mm] $g\in [/mm] H$ (also eine Abbildung $g: Y [mm] \to [/mm] X$) so
finden, dass $g [mm] \circ f=Id_X\,$ [/mm] gilt.
Also: Vorausgesetzt ist: Wir haben eine Abbildung $f: X [mm] \to Y\,,$ [/mm] welche
injektiv ist.
Zu zeigen ist: Wir finden eine Abbildung $g: Y [mm] \to [/mm] X$ so, dass gilt:
Die Abbildung $g [mm] \circ [/mm] f: X [mm] \to [/mm] X$ (d.h. $g [mm] \circ [/mm] f [mm] \in [/mm] Abb(X,X)$) erfüllt
$$(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=x [mm] \text{ für alle }x \in X\,.$$
[/mm]
Beweis: O.E. sei [mm] $X\,$ [/mm] nicht leer. Wir wählen ein [mm] $x_0 \in X\,.$ [/mm] Wir
definieren nun $g: Y [mm] \to [/mm] X$ wie folgt:
Ist $y [mm] \in [/mm] Y$ so, dass $y [mm] \in [/mm] f(X)$ gilt, so gibt es wegen der Injektivität
von [mm] $f\,$ [/mm] genau ein [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=y\,.$ [/mm] Wir definieren dann [mm] $g(y)=x\,,$
[/mm]
und damit hat jedes $y [mm] \in [/mm] f(X)$ schonmal genau ein Bild bzgl. [mm] $g\,.$
[/mm]
Weiter definieren wir für $y' [mm] \in [/mm] Y [mm] \setminus [/mm] f(X)$ einfach [mm] $g(y')=x_0\,.$
[/mm]
Dann ist $g: Y [mm] \to [/mm] X$ eine wohldefinierte Abbildung. Es bleibt zu zeigen,
dass $(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=x$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt:
Sei $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig, aber fest. Dann gilt $y:=f(x) [mm] \in [/mm] f(X)$ nach Definition
von [mm] $f(X)\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $g\,$ [/mm] folgt dann aber für [mm] $g(y)\,,$ [/mm] dass
[mm] $g(y)\,$ [/mm] das einzige $x' [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x')=y\,$ [/mm] ist - also folgt [mm] $g(y)=x\,.$ [/mm] Es
ergibt sich [mm] $g(y)=g(f(x))=x\,,$ [/mm] also nach Definition von $g [mm] \circ [/mm] f$ also
$(g [mm] \circ f)(x)=x\,.$ [/mm] Weil $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig war, folgt $(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=x$ für
alle $x [mm] \in X\,.$
[/mm]
a2) Zu [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Hier setzt man voraus, dass es zu einer Abbildung $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine
Abbildung $g:Y [mm] \to [/mm] X$ so gibt, dass die Abbildung $g [mm] \circ [/mm] f [mm] \in [/mm] Abb(X,X)$
erfüllt, dass $(g [mm] \circ f)(x)=x\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt.
Zu zeigen ist nun: Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] injektiv. D.h. zu zeigen ist:
Sind [mm] $x,x\,' \in [/mm] X$ so, dass [mm] $f(x)=f(x\,')$ [/mm] gilt, so folgt daraus schon, dass
[mm] $x=x\,'$ [/mm] gilt.
Den Beweis kannst Du nun selbst führen: Wenn [mm] $f(x)=f(x\,')$ [/mm] gilt, so folgt
doch sofort [mm] $g(f(x))=g(f(x\,'))\,.$ [/mm] Nun weißt Du, dass [mm] $(g\circ f)(\tilde{x})=g(f(\tilde{x}))=\tilde{x}$ [/mm]
für alle [mm] $\tilde{x} \in [/mm] X$ gilt.
Und zu b): Nachdem Du quasi nun schon fast den ganzen Beweis zu a)
vorgemacht bekommen hast, finde ich es an der Zeit, dass Du Dir da
wenigstens mal ein paar eigene Gedanken zu machst!
Gruß,
Marcel
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