Lineare Algebra I < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei n eine positive ganze Zahl. Sei D die Menge der Diagonalmatrizen der Dimension n, d.h. D besteht aus allen n [mm] \times [/mm] n-Matrizen [mm] A=(a_{ij}), [/mm] für die gilt: [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle [mm] i\not=j. [/mm] Zeigen Sie:
1. Sind A,B [mm] \in [/mm] D, dann ist auch A+B [mm] \in [/mm] D. |
Hallo..
also ich bin ganz verzweifelt. Ich weiß nicht so genau, wie ich das zeigen soll..also was ich da machen muss. aber ich hab vll auch die aufgabenstellung nicht so ganz verstanden.
könnt ihr mir helfen?? das wäre sehr gut!
danke im vorraus,
informacao
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also Du hast die Menge
[mm] $\{D\in\IR^{n\times n}| d_{ij}=0\;\forall\,i\neq j\}$
[/mm]
und sollst nun zeigen, dass wenn du zwei Diagonalmatrizen [mm] $A,B\in [/mm] D$ addierst, diese auch wieder darin enthalten ist, also
[mm] $A,B\in D\Longrightarrow A+B\in [/mm] D$
Dazu überlege Dir wie eine Diagonalmatirx aussieht. Sie hat überall Nullen, außer auf der Diagonalen. Dann überlege Dir, wie die Matrizenaddition definiert ist. Sie ist nämlich komponentenweise definiert, d.h.
[mm] $A+B=\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} }+\pmat{ b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} }=\pmat{ a_{11}+ b_{11} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1}+b_{n1} & \cdots & a_{nn}+b_{nn} }$
[/mm]
Auf der Linken Seite sind alle [mm] $a_{ij}=0$ [/mm] und alle [mm] $b_{ij}=0$ [/mm] für alle [mm] $i\neq [/mm] j$. Damit ist die rechte Matrix auch eine Diagonalmatrix, denn
[mm] $a_{ij}+b_{ij}=0\;\forall\,i\neq [/mm] j$
Das war dann auch schon der Beweis. Hoffe, dass ich Dir helfen konnte.
Ciao Denny
Bei Fragen rühst Dich am besten nochmal
|
|
|
| |
|
Hallo!
danke schonmal..naja ich war das erste mal an der uni, deshalb muss ich mich erst mal so ein bisschen an das alles gewöhnen..ich hab auch noch mehrere aufgaben, die ich beweisen muss..aber ich weiß auch noch nicht, wie ich das machen soll...eine frage noch: was ist das für ein umgekehrtes A? ich hoffe, dass das keine dumme frage ist
viele grüße
informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
nein ist keinen dumme Frage. Also:
[mm] $\forall$ [/mm] heißt "für alle"
[mm] $\exists$ [/mm] heißt "es existiert mindestens ein"
[mm] $\exists_1$ [/mm] (oder auch [mm] $\exists!$) [/mm] heißt "es existiert genau ein"
[mm] $\nexists$ [/mm] heißt "es existiert kein"
Solche Abkürzungen nennen die Mathematiker auch "Quantoren". Der obere heißt "Allquantor" und die unteren drei heißen "Existenzquantor".
Bei weiteren Fragen einfach schreiben.
Ciao Denny
|
|
|
| |
|
Hi!
Okay danke. Das hilft mir sehr und hat mir sehr geholfen.. ich habe jetzt die 1. aufgabe.. und ich habe sie auch verstanden...
da ist aber noch die aufgabe:
Zeige das (für die selben Annahmen) die n x n Matrix n-Nullmatrix (finde das Zeichen für eine "doppelte Null" nicht) in D ist...
ich weiß nicht..vll hab ich gerade nur eine denklücke..aber ich verstehe das schon wieder nicht...
informacao
|
|
|
| |
|
Hi, informacao,
> da ist aber noch die aufgabe:
>
> Zeige das (für die selben Annahmen) die n x n Matrix
> n-Nullmatrix (finde das Zeichen für eine "doppelte Null"
> nicht) in D ist...
Ich schreib's mal kürzer:
Wenn A eine Diagonalmatrix ist, dann ist -A auch eine solche.
Nach Voraussetzung muss dann auch A + (-A) = 0 (Nullmatrix) in D liegen.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
