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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:58 Do 03.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Zu zeigen ist, dass die Lineare Approximation der Funktion [mm] $f(x)=\sqrt{x}$ [/mm] in $a=1$ [mm] $\sqrt{1.2} \approx [/mm] 1.1$ liefert. Mit Hilfe des MWS beweise die präzisere Aussage:
[mm] $\frac{12}{11}<\sqrt{1.2}<\frac{11}{10}$ [/mm] |
Hallo,
Die lineare Approximation ist gegeben durch:
$f(x) [mm] \approx [/mm] f(a)+f'(a)(x-a) = [mm] 1+\frac{1}{2\sqrt{1}}(1.2-1)= [/mm] 1.1 $
MWS:
[mm] $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(x)$ [/mm]
$ [mm] \frac{\sqrt{\frac{12}{1}}-\sqrt{\frac{11}{10}}}{\frac{12}{11}-\frac{11}{10}}= f'(x_{0})= \frac{1}{2\sqrt{1.2}}$
[/mm]
Aber das darf man wohl nicht einfach so einsetzen!
[mm] $\frac{11}{10} [/mm] = [mm] \sqrt{1.21}$ [/mm] also ist die rechte Seite zu beweisen doch sowieso überflüssig??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo,
> Zu zeigen ist, dass die Lineare Approximation der Funktion
> [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] in [mm]a=1[/mm] [mm]\sqrt{1.2} \approx 1.1[/mm] liefert. Mit
> Hilfe des MWS beweise die präzisere Aussage:
>
> [mm]\frac{12}{11}<\sqrt{1.2}<\frac{11}{10}[/mm]
> Hallo,
>
> Die lineare Approximation ist gegeben durch:
>
> [mm]f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a) = 1+\frac{1}{2\sqrt{1}}(1.2-1)= 1.1 [/mm]
Genau.
> MWS:
>
> [mm]\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(x)[/mm]
>
> [mm]\frac{\sqrt{\frac{12}{1}}-\sqrt{\frac{11}{10}}}{\frac{12}{11}-\frac{11}{10}}= f'(x_{0})= \frac{1}{2\sqrt{1.2}}[/mm]
>
> Aber das darf man wohl nicht einfach so einsetzen!
Genau, man darf nicht einfach irgendwas für [mm] x_0 [/mm] einsetzen. Die Aussage des Mittelwertsatzes ist, dass es ein [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ gibt, so dass die Gleichung
[mm] $\frac{f(a) - f(b)}{a-b} [/mm] = [mm] f'(x_0)$
[/mm]
erfüllt ist. Du kannst folgendermaßen vorgehen:
Setze z.B. $a = 1.2$ und $b = 1$ (wir wollen eine Aussage über [mm] \sqrt{1.2} [/mm] , deswegen wählen wir das als eine Grenze. Wir wählen b = 1, weil wir da die Wurzel kennen) ein. Dann weißt du, dass [mm] $x_0 \in [/mm] (1 ,1.2)$ liegt. Durch den MWS gewinnst du eine Gleichung, wobei auf der einen Seite [mm] x_0 [/mm] vorkommt.
Nutze nun dein Wissen [mm] ($x_0 \in [/mm] (1, 1.2)$, Wurzel streng monoton wachsend), um den Term mit [mm] x_0 [/mm] nach oben / unten abzuschätzen. Du gewinnst so die Ungleichung [mm] $\sqrt{1.2} [/mm] < [mm] \frac{11}{10}$.
[/mm]
Für die andere Ungleichung musst du dir andere Werte für a und b suchen.
Viele Grüße,
Stefan
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