Lineare DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Do 01.04.2010 | | Autor: | phil974 |
| Aufgabe | Berechnen sie die allgemeine Lsg.
y'' - 2y' + 1 = [mm] \bruch{e^{x}}{x^{2}}
[/mm]
Benutzen sie Variation der Konstanten zur Berechnung einer Partikulärlösung |
Mein Ansatz:
Umformen zu
y'' - 2y' = [mm] \bruch{e^{x}}{x^{2}} [/mm] - 1
Lösung der homogenen Seite:
Polynom : [mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 0
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2}* e^{2x}
[/mm]
Lösung der rechten Seite:
Störfunktion: [mm] \bruch{ e^{x} }{ x^{2} } [/mm] - 1
Ansatz:
[mm] e^{\alpha x}( a_{m}x^{m}) [/mm] - 1
[mm] \alpha [/mm] = 1
[mm] a_{m} [/mm] = 1
m = -2
Die 1 macht mir aber Probleme, oder ist mein Ansatz komplett falsch ?
p.s. hups, falsches unterforum
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Hallo phil974,
> Berechnen sie die allgemeine Lsg.
>
> y'' - 2y' + 1 = [mm]\bruch{e^{x}}{x^{2}}[/mm]
>
> Benutzen sie Variation der Konstanten zur Berechnung einer
> Partikulärlösung
> Mein Ansatz:
>
> Umformen zu
>
> y'' - 2y' = [mm]\bruch{e^{x}}{x^{2}}[/mm] - 1
>
> Lösung der homogenen Seite:
>
> Polynom : [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 0
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 2
>
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}* e^{2x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Lösung der rechten Seite:
>
> Störfunktion: [mm]\bruch{ e^{x} }{ x^{2} }[/mm] - 1
>
> Ansatz:
>
> [mm]e^{\alpha x}( a_{m}x^{m})[/mm] - 1
>
> [mm]\alpha[/mm] = 1
> [mm]a_{m}[/mm] = 1
> m = -2
>
> Die 1 macht mir aber Probleme, oder ist mein Ansatz
> komplett falsch ?
In der Aufgabe steht, daß die ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten
zur Berechnung der Partikulärlösung anzuwenden ist.
>
> p.s. hups, falsches unterforum
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Fr 02.04.2010 | | Autor: | phil974 |
> In der Aufgabe steht, daß die
> Variation der Konstanten
>
> zur Berechnung der Partikulärlösung anzuwenden ist.
>
ja, aber wo bzw. auf was ?!
Ich kann ja nicht einfach aus
[mm]y_{h}[/mm] = [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}* e^{2x}[/mm] [mm] \rightarrow[/mm] [mm]y_{p}[/mm] = [mm]c_{1}(x)[/mm] + [mm]c_{2}(x)* e^{2x}[/mm]
machen und dann [mm] y_{p}' [/mm] bilden, wie man es machen würde, wenn die rechte Seite nicht existieren würde.
oder sage ich, dass [mm] y_{p} [/mm] = [mm] e^{\alpha x}( a_{m}x^{m}) [/mm] - 1 [mm] \rightarrow y_{p}' [/mm] = ....
oder muss ich
[mm] y_{h} [/mm] = [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}* e^{2x} = e^{\alpha x}( a_{m}x^{m})[/mm] - 1
setzen und daraus die erste Ableitung erstellen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Phil974,
augenscheinlich weisst Du nicht, wie man mit der Variation der Konstanten auf die partikuläre Lösung der DGL kommt. Es ist hierbei ein lineares Gleichungssystem zu lösen, dessen Aussehen vom Grad der DGL abhängt. Für eine DGL 2. Grades wie bei Dir gehe ich mal von folgender Schreibweise aus:
$$ [mm] a_2(x)y^{''} [/mm] + [mm] a_1 [/mm] (x) [mm] y^{'} [/mm] + [mm] a_0 [/mm] (x) y = r(x) $$ Hierfür benötigst Du ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen DGL. Aus der homogenen Lösung kannst Du einen Ansatz mit Hilfe der Variation der Konstanten machen und solch eine Partikulärlösung lässt sich schreiben als
$$ [mm] y_p(y) [/mm] = [mm] C_1 [/mm] (x) [mm] y_1 [/mm] (x) + [mm] C_2 [/mm] (x) [mm] y_2 [/mm] (x) $$ und für die Ableitungen der variierten Konstanten bekommt man dann folgendes Gleichungssystem:
$$ [mm] y_1(x) C_1^{'} [/mm] (x) + [mm] y_2 [/mm] (x) [mm] C_2^{'} [/mm] (x) = 0 $$
$$ [mm] y_1^{'}(x) C_1^{'} [/mm] (x) + [mm] y_2^{'} [/mm] (x) [mm] C_2^{'} [/mm] (x) = [mm] \bruch{r(x)}{a_2(x)} [/mm] $$
Dann musst Du nur noch das Gleichungssystem lösen und die Ableitungen von C1 und C2 einmal hochintegrieren.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 02.04.2010 | | Autor: | phil974 |
Leider noch nicht ganz klar.
Ich dachte es handelt sich um eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten und nicht mit veränderlichen Koeffizienten ( wegen [mm] a_{2}(x) [/mm] y'' in deiner Antwort)
Ich habe ja schon eine homogene Lösung errechnet, stimmt diese nicht ? Bei DGLs 1. Ordnung "verwendet" man die homogene Lösung doch um auf die partikuläre Lösung zu kommen, jetzt bin ich so verwirrt, dass ich garnichts mehr verstehe.
[mm] y_{p} [/mm] analog zu meinem Ergebniss [mm] y_{h} [/mm] zu bilden ist falsch, soweit klar.
ich benötige ein Fundamentalsystem, also Wronski Determinante.........
W(x) = [mm] \pmat{ 1 & e^{2x} \\ 0 & 2e^{2x} } [/mm] * [mm] \vektor{c1'(x) \\ c2'(x)} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \bruch{e^{2x}}{x^{2}}} [/mm]
Das ist aber auch nur halbdurchdacht....
Mein Ostergeschenk an dieses Forum, mathematischer Dilettantismus, wofür ich mich schon jetzt entschuldige.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo phil974,
störe Dich nicht an meiner allgemeinen Schreibweise. Bei Deiner DGL hast Du keine von x abhängigen Faktoren als Vorfaktoren der Ableitungen auf der linken Seite der DGL, aber konstante Faktoren sind immerhin da.
Für die homogene DGL 2. Ordnung hast Du die beiden Funktionen ja bereits berechnet, das stimmt und ich habe Dir aufgeschrieben, wie Du mit Hilfe der Variation der Konstanten noch auf die partikuläre Lösung kommst.
Nimm doch einfach mal Deinen Ansatz
$$ [mm] y_p(x) [/mm] = [mm] c_1 [/mm] (x) [mm] \cdot [/mm] 1 + [mm] c_2 (x)e^{2x} [/mm] $$ und setze die entsprechenden Faktoren in die beiden letzten Gleichungen aus meinem Thread ein. Damit müsstest du weiterkommen.
Schöne Ostern,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 02.04.2010 | | Autor: | phil974 |
Eingesetzt und aufgelöst:
[mm] \vektor{1 & e^{2x} \\ 0 & 2e^{2x}} [/mm] * [mm] \vektor{c1 \\ c2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \bruch{e^{x}}{x^{2}} - 1 }
[/mm]
Daraus folgt nach Umstellung und mit
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det A} \pmat{ d & -b \\ -c & a }
[/mm]
c1 = [mm] \bruch{1}{4} \integral [/mm] {1- [mm] \bruch{e^x}}{x^{2}} [/mm] dx
c2= [mm] \bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{e^{x}}*(\bruch{1}{x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2e^{x}}) [/mm] dx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
unschöne Gleichungen, aber der Weg stimmt.
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Sa 03.04.2010 | | Autor: | phil974 |
Danke für die ausführliche Hilfe, habe noch ein paar Aufgaben gerechnet (mit vorhandenen Lösungen) und es hat geklappt.
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