Lineare DGL I Ord. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Fr 10.06.2011 | | Autor: | Jaw |
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
y'- [mm] \bruch{2x}{2+x^2}y=2+x^2.
[/mm]
Bestimmen Sie diejenige Lösung, die der Anfangsbedingung y (0) = 6 genügt!
Hinweise:
• In einem Fall ist eine Integration mittels Substitution erforderlich!
• Für eine Lösung ohne Verwendung der betreffenden Lösungsformel werden 2 Zusatzpunkte
vergeben. |
Grüße !
Mit den Formeln :
y'(x)+p(x)y(x)=q(x)
und
y(x)= [mm] [\integral_{}^{}{q(x) e^{\integral_{}^{}{p(x) dx}} dx +C}] e^{-\integral_{}^{}{p(x) dx +C}}
[/mm]
Konnte ich bereits auf [mm] y(x)=(x+C)*(2+x^2) [/mm] als allgemeine Loesung kommen.
(Habe dabei durch die Substitution [mm] u=2+x^2 [/mm] den Ausdruck [mm] \integral_{}^{}{p(x) dx= -Ln\{2+x^2\}} [/mm] erhalten, was sich sehr schön mit den Exponentialfunktionen der Lösungsformel verträgt)
Und wenn ich nicht sehr irre bedeutet die Bedingung y(0)=6 das [mm] 6=(0+C)*(2+0^2) [/mm] sei und somit C=3 ist.
Gut soweit? (Habe mit Wolframalpha getestet, ist denke ich richtig)
Ich würde mich über einen Denkanstoß bezüglich der 2 Zusatzpunkte- einen alternativen Lösungsweg zur verwendeten Lösungsformel - freuen.
Danke und schönes (langes) Wochenende!
Jann
(Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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> Gegeben ist die lineare Differentialgleichung erster
> Ordnung
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> y'- [mm]\bruch{2x}{2+x^2}y=2+x^2.[/mm]
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> Bestimmen Sie diejenige Lösung, die der Anfangsbedingung y
> (0) = 6 genügt!
>
> Hinweise:
>
> • In einem Fall ist eine Integration mittels Substitution
> erforderlich!
>
> • Für eine Lösung ohne Verwendung der betreffenden
> Lösungsformel werden 2 Zusatzpunkte
> vergeben.
> Grüße !
>
> Mit den Formeln :
>
> y'(x)+p(x)y(x)=q(x)
>
> und
>
> y(x)= [mm][\integral_{}^{}{q(x) e^{\integral_{}^{}{p(x) dx}} dx +C}] e^{-\integral_{}^{}{p(x) dx +C}}[/mm]
>
> Konnte ich bereits auf [mm]y(x)=(x+C)*(2+x^2)[/mm] als allgemeine
> Loesung kommen.
> (Habe dabei durch die Substitution [mm]u=2+x^2[/mm] den Ausdruck
> [mm]\integral_{}^{}{p(x) dx= -Ln\{2+x^2\}}[/mm] erhalten, was sich
> sehr schön mit den Exponentialfunktionen der
> Lösungsformel verträgt)
> Und wenn ich nicht sehr irre bedeutet die Bedingung y(0)=6
> das [mm]6=(0+C)*(2+0^2)[/mm] sei und somit C=3 ist.
>
> Gut soweit? (Habe mit Wolframalpha getestet, ist denke ich
> richtig)
>
> Ich würde mich über einen Denkanstoß bezüglich der 2
> Zusatzpunkte- einen alternativen Lösungsweg zur
> verwendeten Lösungsformel - freuen.
>
>
> Danke und schönes (langes) Wochenende!
>
> Jann
>
> (Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
hallo, deine lösung ist richtig
alternativ würde ich folgenden weg nicht nennen, denn durch ihn wurde die allgemeine lösungsformel ja entwickelt.
aber sie geht halt über die lösung der homogenen dgl und anschließender variation der konstanten
starte also mit
[mm] y'-\bruch{2x}{2+x^2}y=0
[/mm]
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Jaw |
Mit der variation der Konstanten bin ich klargekommen =)
besten Dank!
Jann
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