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| Aufgabe | Sei X eine endliche Menge auf G, sie p die korrespondierende Permutationsmatrix und Xx sei der Charakter von p. (Wobei X =chi)
Sei s [mm] \in [/mm] G; zeige, dass Xx(s) die Anzahl der Elemente von X ist, die durch s fest sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo!
Wir sind im 2. Semester und nehmen an einem Proseminar (Lineare Darstellungen endlicher Darstellungen) teil, nächste Woche ist unser Vortrag über den Charakter einer Darstellung. Die gestellte Frage ist eine Aufgabe, die wir lösen sollen. Leider kommen wir damit überhaupt nicht zurecht und wären euch sehr dankbar, wenn ihr uns helfen könntet! Wir wissen leider noch nicht mal wie wir anfangen sollen!
Wär echt super, wenn jemand antwortet! Schonmal vielen Dank im voraus!
Liebe Grüße Sabrina und Sonja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo ihr beiden!
> Sei X eine endliche Menge auf G, sie p die
> korrespondierende Permutationsmatrix und Xx sei der
> Charakter von p. (Wobei X =chi)
> Sei s [mm]\in[/mm] G; zeige, dass Xx(s) die Anzahl der Elemente
> von X ist, die durch s fest sind.
Wenn ihr eine Antwort auf diese Frage haben wollt, so stellt sie doch bitte auch so das man sie beantworten kann!
Ich nehme mal an, $G$ ist eine Gruppe die auf $X$ operiert? Was ist $p$ fuer eine Permutationsmatrix? Ist das die, die zu der Operation eines Elementes $x [mm] \in [/mm] G$ auf $X$ gehoert? Und wie ist [mm] $\chi_x$ [/mm] definiert? Oder ist $x$ aus $X$? Aber was ist dann $p$?
LG Felix
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Hi!
Das Problem liegt darin, dass der Text auf englisch ist und wir es dann nicht richtig verstanden haben.Tut uns leid!
Also der zweite Versuch:
Sei G eine Gruppe die auf X operiert, sei [mm] \rho [/mm] die Permutationsdarstellung, sodass für jedes s $ [mm] \in [/mm] $ G gilt:
x [mm] \mapsto [/mm] xs und sei [mm] \chi [/mm] x der Charakter von p.
Sei $ [mm] \in [/mm] $ G, zeige, dass [mm] \chi [/mm] x(s) die Anzahl der Elemente
von [mm] \chi [/mm] ist, die durch s fest sind.
Ich hoffe, dass wir das jetzt richtig verstanden haben!
Vielen Dank für die Rückmeldung!
Tut uns echt leid!
Liebe Grüße Sabrina und Sonja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Sorry das ich nochmal nachfragen muss, aber ihr habt immer noch nicht genug Informationen gegeben damit man euch helfen kann.
> Das Problem liegt darin, dass der Text auf englisch ist und
> wir es dann nicht richtig verstanden haben.Tut uns leid!
Wenn ihr etwas nicht richtig uebersetzen koennt schreibt es doch bitte (auch) auf Englisch hier hin.
> Also der zweite Versuch:
> Sei G eine Gruppe die auf X operiert, sei [mm]\rho[/mm] die
Also [mm] $\rho$ [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus [mm] $\rho [/mm] : G [mm] \to [/mm] S(X)$, wobei $S(X)$ die Permutationsgruppe von $X$ ist (also die Gruppe aller bijektiven Funktionen $X [mm] \to [/mm] X$)?
> Permutationsdarstellung, sodass für jedes s [mm]\in[/mm] G gilt:
> x [mm]\mapsto[/mm] xs und
Ihr meint sicher [mm] $\rho [/mm] : s [mm] \mapsto \begin{cases} X \to X \\ x \mapsto x s \end{cases}$, [/mm] oder?
> sei [mm]\chi[/mm] x der Charakter von p.
Wie genau ist der definiert? Ohne die genaue Definition kann euch keiner helfen, wie man die Behauptung zeigen soll!
> Sei [mm]\in[/mm] G, zeige, dass [mm]\chi[/mm] x(s) die Anzahl der Elemente
> von [mm]\chi[/mm] ist, die durch s fest sind.
Was ist in $G$ (da fehlt ein Buchstabe)? Etwa $x [mm] \in [/mm] G$? Und was ist $s$, etwa $s [mm] \in [/mm] G$? Und Elemente aus $X$, die durch $s$ fest gehalten werden, oder?
LG Felix
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Let X be a finite set on which G acts, let [mm] \rho [/mm] be the corresponding permutation representation, and [mm] \chi [/mm] x be the character of [mm] \rho [/mm] . Let s [mm] \in [/mm] G ; show that [mm] \chi [/mm] x (s) is the number of elements of X fixed by s.
Weiter vorne im Buch steht über Permutationsdarstellungen:
for each s [mm] \in [/mm] G, there is given a permutation x [mm] \mapsto [/mm] sx of X, satisfying the identities
1x=x; s(tx)=(st)x if s [mm] \in [/mm] G, x [mm] \in [/mm] X.
Ich hoffe ihr versteht den Text besser als wir, tut uns echt leid, dass das jetzt alles ein bissle kompliziert war! SORRY!
Aber euch auf jeden Fall vielen Dank für ure Mühe!
Liebe Grüße Sabrina und Sonja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Let X be a finite set on which G acts, let [mm]\rho[/mm] be the
> corresponding permutation representation, and [mm]\chi[/mm] x be the
> character of [mm]\rho[/mm] .
Wie ist der Charakter [mm] $\chi_X$ [/mm] definiert?
LG Felix
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Der Charakter ist folgender Maßen definiert:
[mm] \chi [/mm] (s) = Tr ( [mm] \rho [/mm] (s)) für alle s [mm] \in [/mm] G
DANKE!
Liebe Grüße Sabrina und Sonja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Charakter ist folgender Maßen definiert:
>
> [mm]\chi[/mm] (s) = Tr ( [mm]\rho[/mm] (s)) für alle s [mm]\in[/mm] G
Wie ist denn die Spur der Permutation [mm] $\rho(s)$ [/mm] definiert?
Eine Moeglichkeit, die ich mir vorstellen kann, ist das man [mm] $\rho(s)$ [/mm] als Permutation der Basisvektoren [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] eines $n$-dimensionalen Vektorraums auffasst, wobei $n = |X|$ ist. Zu dieser Permutation gehoert dann eine Permutationsmatrix, und von der nimmt man die Spur. Damit ist dann die Spur dieser Matrix die Summe ueber alle Elemente $x [mm] \in [/mm] X$, die durch [mm] $\rho(s)$ [/mm] auf sich selber abgebildet werden (also [mm] $\rho(s)(x) [/mm] = x$), womit [mm] $\chi(x)$ [/mm] genau das ist was ihr zeigen sollt.
LG Felix
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Hallo!!!
Jetzt haben wir uns das nochmal an einem Beispiel verdeutlicht und es ist jetzt klar! Vielen, vielen Dank für deine Hilfe und vorallem für deine Geduld!!!
Du kannst uns ja am Donnerstag die Daumen drücken, da ist dann unser Vortrag!
Wir wünschen dir noch einen schönen Tag!
Liebe Grüße Sabrina und Sonja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo ihr beiden!
> Jetzt haben wir uns das nochmal an einem Beispiel
> verdeutlicht und es ist jetzt klar! Vielen, vielen Dank für
> deine Hilfe und vorallem für deine Geduld!!!
Schoen 
> Du kannst uns ja am Donnerstag die Daumen drücken, da ist
> dann unser Vortrag!
Werd ich tun!
Eine Frage hab ich noch: Hatte ich die Definition von [mm] $\mathrm{Tr}(\rho(s))$ [/mm] richtig `geraten'?
Liebe Gruesse und euch auch einen schoenen Tag,
Felix
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Hallo Felix!
Ja du hattest richtig geraten!
Vielen Dank nochmal für alles!
Liebe Grüße
Sabrina und Sonja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Di 09.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo ihr beiden,
was genau ist denn jetzt nach Felix' detaillierten Erklärungen noch offen?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo!
Es ist nichts mehr offen, wir haben uns nur ein konkretes Beispiel zu dieser Aufgabe überlegt um es für die Teilnehmer des Proseminars deutlich zu machen und damit hats dann endgültig "klick" gemacht!
Liebe Grüße
Sabrina und Sonja
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