Lineare Differenzengleichung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 So 14.10.2007 | | Autor: | Kylie04 |
| Aufgabe | Untersuche die linearen Differenzgleichungen erster Ordung. Nachdem du sie gelöst hast im allgemeinem Fall, nimmt man dann an dass [mm] u_{0}=0 [/mm] ist.
$(1)$ [mm] u_{n+1} [/mm] = [mm] 2u_{n} [/mm] $+ 3*n + 2$
$(2)$ [mm] u_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}*u_{n} [/mm] $+$ [mm] 3^{n}
[/mm]
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Wir haben das gemacht und anscheinend gibt es eine ganz einfache Formel dafür in die man nur einsetzen muss zumindest bei Gleichungen ersten Grades, um die explizite Form [mm] (u_{n}=...) [/mm] zu bekommen.
Aber ich verstehe es irgendwie nicht wie man das machen muss. Ich habe auch schon in verschiedenen Büchern nachgeschaut und immer ist diese Formel anders und die Schreibweise auch. Ich weiß nur das es eine generelle Lösung gibt die sich aus einer partikulären und wieder einer generellen Lösung ohne das zweite Glied (wo ist das?) zusammensetzt.
Eine Formel die ich gefunden habe und deren Beweis ich verstanden habe ist : [mm] u_{n}= a^{n}*(u_{0}+ \bruch{b}{a-1})-\bruch{b}{a-1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Aber irgendwo anders steht das ist nur ein Spezialfall...
Kann mir jemand dabei helfen? Vielen Dank...:)
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Ansatz: [mm] u_{n+1}+ [/mm] r(n+1)+ s= [mm] 2(u_n [/mm] + rn + s)
Damit wird links und rechts die allgemeine Form der vorher rechten Seite "übernommen", um so zunächst den Faktor 2 vor [mm] u_n [/mm] in den Griff zu bekommen. Außerdem ist das n eine Art Zähler, deshalb auf der linken Seite durch (n+1) vertreten.
Einsetzen von [mm] u_{n+1}= [/mm] 2 [mm] u_n [/mm] +3n +2 und Vereinfachen führt zu
(3-r)n = s-2-r.
Da nun aber die rechte Seite unabhängig von n sein soll, setzt man (3-r)=0 und damit dann auch s-2-r=0. Somit erhält man:
[mm] u_{n+1}+3(n+1)+5 [/mm] = [mm] 2(u_n [/mm] + 3n + 5)
Das ist nichts anderes als die umgeformte Ausgangsgleichung, wobei aber alle Terme, die links Index n+1 haben, rechts mit Index n auftauchen. Ziel dabei war, nur die 2 auszuklammern.
Setze nun [mm] x_n [/mm] = [mm] u_n+3n [/mm] + 5.
Damit vereinfacht sich die Gleichung nun zu
x_(n+1)= 2 [mm] x_n \Rightarrow x_n=x_0 [/mm] * [mm] 2^n.
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = [mm] u_0+3*0+5=5, [/mm] somit
[mm] x_n=5 [/mm] * [mm] 2^n.
[/mm]
Rückeinsetzen: [mm] u_n= x_n [/mm] - 3n - 5 = 5 * [mm] 2^n [/mm] -3n -5
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2. Aufgabe:
Schreibe die ersten Folgeglieder einfach auf:
[mm] u_0=0
[/mm]
[mm] u_1=\bruch{5}{2}*0+3^1=3
[/mm]
[mm] u_2=\bruch{5}{2}*3+3^2
[/mm]
[mm] u_3=(\bruch{5}{2})^2*3+\bruch{5}{2}*3^2+3^3
[/mm]
[mm] u_4=(\bruch{5}{2})^3*3+(\bruch{5}{2})^2*3^2+\bruch{5}{2}*3^3+ 3^4
[/mm]
usw.
Du erhältst eine geom. Reihe mit [mm] a_0 [/mm] = [mm] 3*(\bruch{5}{2})^{n-1} [/mm] und [mm] q=3*\bruch{2}{5}=\bruch{6}{5}.
[/mm]
Damit wird
[mm] u_n [/mm] = [mm] 3*(\bruch{5}{2})^{n-1}*(\bruch{(\bruch{6}{5})^n-1}{(\bruch{6}{5})-1})
[/mm]
= [mm] 15*(\bruch{5}{2})^{n-1}*((\bruch{6}{5})^n-1)
[/mm]
= [mm] 15*\bruch{2}{5}*(\bruch{5}{2})^n*((\bruch{6}{5})^n-1)
[/mm]
= [mm] 6*(\bruch{5}{2})^n*((\bruch{6}{5})^n-1)
[/mm]
= [mm] 6*(3^n -(\bruch{5}{2})^n)
[/mm]
Nun noch alles per Vollst. Induktion nachweisen...
Noch schneller geht hier der Ansatz
[mm] u_n [/mm] = [mm] a*3^n [/mm] + [mm] b*(\bruch{5}{2})^n. [/mm] Wegen [mm] u_0=0 [/mm] ergibt sich sofort b=-a und damit
[mm] u_n [/mm] = [mm] a*(3^n -(\bruch{5}{2})^n)
[/mm]
Rest bitte selber durch Einsetzen finden.
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Hallo Kylie04,
> Untersuche die linearen Differenzgleichungen erster Ordung.
> Nachdem du sie gelöst hast im allgemeinem Fall, nimmt man
> dann an dass [mm]u_{0}=0[/mm] ist.
>
> (1) [mm]u_{n+1}[/mm] = [mm]2u_{n}[/mm] + 3*n + 2
> (2) [mm]u_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}*u_{n}[/mm] + [mm]3^{n}[/mm]
>
Ich bin mir zwar nicht sicher in welchem Kontext ihr das gemacht habt, aber an sich scheinen das Rekursionen zu sein. Man könnte also durch mehrmaliges Einsetzen der Beziehung in sich selbst eine iterative geschlossene Formel herleiten(; gelingt jedoch nicht immer).
zu 1)
[mm]u_{n+1} = 2u_n + 3n + 2 = 2\left(2u_{n-1} + 3(n-1) + 2\right) + 3n + 2 = 2^2u_{n-1} + 2\cdot{3}(n-1) + 2^2 + 3n + 2[/mm]
[mm]\textcolor{blue}{=2^2u_{n-1} + 2^1\cdot{3}(n-1) + 3n + 2^2 + 2^1}[/mm]
[mm]=2^2\left(2u_{n-2} + 3(n-2) + 2\right) + 2\cdot{3}(n-1) + 3n + 2^2 + 2^1[/mm]
[mm]=2^3u_{n-2} + 2^2\cdot{3}(n-2) + 2^3 + 2^1\cdot{3}(n-1) + 3n + 2^2 + 2^1[/mm]
[mm]\textcolor{blue}{=2^3u_{n-2} + 2^2\cdot{3}(n-2) + 2^1\cdot{3}(n-1) + 2^0\cdot{3}(n-0)+ 2^3 + 2^2 + 2^1}[/mm]
...
[mm]=2^{n+1}u_{n-n} + 2^n\cdot{3}(n-n) + 2^{n-1}\cdot{3}(n-(n-1)) +\dotsm+ 2^0\cdot{3}(n-0)+ 2^{n+1} + 2^n +\dotsm+ 2^1+2^0-1[/mm]
[mm]=\left(\sum_{i=0}^n{2^i3(n-i)}\right) + \left(\sum_{j=0}^{n+1}{2^j}\right)-1=3\left[\left(n\sum_{i=0}^n{2^i}\right)-\left(\sum_{i=0}^n{i2^i}\right)\right] + 2^{n+2}-1-1=(\*)[/mm]
Eine Summenformel für [mm]\textstyle\sum{i2^i}[/mm] kann man sich über die Differentialrechnung herleiten.
Es gilt:
[mm]\sum_{i=0}^n{x^i}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\Leftrightarrow\frac{\partial}{\partial x}\sum_{i=0}^n{x^i}=\sum_{i=0}^n{ix^{i-1}}=\frac{1}{x}\sum_{i=0}^n{ix^i}=\frac{(n+1)x^n(x-1)-\left(x^{n+1}-1\right)}{(x-1)^2}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \sum_{i=0}^n{ix^i}=x\cdot{\frac{(n+1)x^n(x-1)-\left(x^{n+1}-1\right)}{(x-1)^2}}[/mm]
Das wäre dann in unserem Fall:
[mm]\sum_{i=0}^n{i2^i}=(n+1)2^{n+1}-2^{n+2}+2[/mm]
Das eingesetzt erhalten wir:
[mm](\*) = 3\left[n2^{n+1}-n-\left((n+1)2^{n+1}-2^{n+2}+2\right)\right] + 2^{n+2}-2=3n\cdot{2^{n+1}}-3n-3(n+1)2^{n+1}+3\cdot{2^{n+2}}-6 + 2^{n+2}-2[/mm]
[mm]=3n\cdot{2^{n+1}}-3n-3(n+1)2^{n+1}+8\cdot{2^{n+1}}-8=5\cdot{2^{n+1}}-3n-8[/mm]
Na gut, ich habe jetzt mal einige Werte in die ursprüngliche Rekursionsgleichung und in diese Formel eingesetzt:
Das ist die ursprüngliche Gleichung:
[mm]u_0 = 0[/mm]
[mm]u_1 = 2[/mm]
[mm]u_2 = 9[/mm]
[mm]u_3 = 26[/mm]
Und hier meine Formel:
[mm]u_0 = 5*2 - 8 = 2[/mm]
[mm]u_1 = 5*4 - 3 - 8 = 20 - 11 = 9[/mm]
[mm]u_2 = 5*8 - 6 - 8 = 40 - 14 = 26[/mm]
Irgendwie scheint meine Formel um 1 "nach vorne" verschoben zu sein? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Keine Ahnung wo ich oben den Fehler gemacht habe. Wenn man aber in der Formel überall 1 abzieht, so klappt es, denn:
[mm]5\cdot{2^n}-3(n-1)-8\mathop{=}^{n:=0}5+3-8=0[/mm]
und die anderen Werte ab [mm]u_1[/mm] verschieben sich wieder um 1 zurück.
Mal sehen, was die vollständige Induktion dazu zu sagen hat:
Der Fall [mm]n=0[/mm] funktioniert also. Angenommen meine Formel wäre so nun richtig für alle [mm]n\in\mathbb{N}_0[/mm]. Mal sehen, ob dies auch für [mm]n+1\![/mm] gilt:
Es gilt also:
[mm]u_{n+2}=2u_{n+1}+3(n+1)+2=2\left(2u_n+3n+2\right)+3(n+1)+2 = 4u_n+6n+4+3n+3+2 = 4u_n+9n+9[/mm]
Nach der Induktionsannahme gilt nun:
[mm]4u_n+9n+9 = 4\left(5\cdot{2^n}-3(n-1)-8\right)+9n+9=20\cdot{2^n}-12(n-1)-32+9n+9=20\cdot{2^n}-12n+12-32+9n+9[/mm]
[mm]=20\cdot{2^n}-3n-11=5\cdot{2^{n+2}}-3n-3-8 = 5\cdot{2^{n+2}}-3(n+1)-8[/mm]
Damit scheint die (nun teils hergeleitete teils geratene) Formel bewiesen zu sein. Aber wo wohl oben der Fehler steckt? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 So 14.10.2007 | | Autor: | Kylie04 |
Ach du liebes bisschen! Das ist ja kompliziert. Vielen Dank für die Antworten. Ich dachte man kann das ganz einfach mit der Fpormel machen die ich angegeben habe. Soo kompliziert ist es auf jeden Fall nicht. In welchem Zusammenhang wir das gemacht haben? Ich glaube das waren rekursive Folgen. Ich werde mir die Sachen nochmal anschauen und dann poste ich die Lösung hier rein, wenn wir sie korrigiert haben.
Viele Grüße!
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