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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Di 22.06.2004 | | Autor: | Stella |
Hallo Ihrs,
ich habe jetzt auch mal ein kleines Problem mit einer Aufgabe, also:
Seien V,W endlich erzeugte K-Vektorräume. Bestimme mit Hilfe von Basen in V bzw. W eine Basis in Hom K (V,W) (das K ist der Index). Welche Dimension hat Hom K (V,W) in Abhängigkeit von den Dimensionen von V bzw. W?
Unsere Tutorin hat uns gesagt, wir sollten es mit der Linearen Fortzetzung probieren bzw. eine Matrixdarstellung finden. Aber ich muss ehrlich gestehen uns ist nicht klar, was wir hier tun sollen.
Ich hoffe auf baldige Hilfe!
Viele Grüße
Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stella,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien V,W endlich erzeugte K-Vektorräume. Bestimme mit
> Hilfe von Basen in V bzw. W eine Basis in Hom K (V,W) (das
> K ist der Index). Welche Dimension hat Hom K (V,W) in
> Abhängigkeit von den Dimensionen von V bzw. W?
>
> Unsere Tutorin hat uns gesagt, wir sollten es mit der
> Linearen Fortzetzung probieren bzw. eine Matrixdarstellung
> finden. Aber ich muss ehrlich gestehen uns ist nicht klar,
> was wir hier tun sollen.
Die einzelnen Begriffe sind dir/euch aber klar?
Zum Beispiel, dass [mm] $\operatorname{Hom}_K [/mm] (V,W)$ die Menge der linearen Abbildung zwischen den beiden Vektorräumen ist?
Es sei [mm] $\dim [/mm] W=m$ und [mm] $\dim [/mm] V=n$ (die beiden Vektorräume waren ja endlich).
Sobald man feste Basen für V und W bestimmt hat, ist eine Abbildung [mm] $f\in\operatorname{Hom}_K [/mm] (V,W)$ ja eindeutig bestimmt durch eine Matrix der Dimension [mm] $m\times [/mm] n$.
Das müßte euch jetzt schon auf die richtige Fährte bringen  (Du kannst uns gerne deine Ideen präsentieren  )
Falls nicht, frage einfach nochmal nach, dann kommt der nächste Tipp...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Do 24.06.2004 | | Autor: | Stella |
Hallo Marc,
danke für die Antwort, damit bin ich weiter gekommen. Meine Basis hat jetzt die Dim: m*n
Viele Grüße
Jana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
ich habe genau die gleiche Aufgabe gestellt bekommen und komme trotz der Erläuterungen nicht weiter.
Ich weiß, dass [mm]Hom_K(,V,W) \cong M(m \times n,K)[/mm] ist, wenn [mm]dim V = n,\ dim W = m[/mm]. Doch wie soll ich jetzt eine konkrete Basis aufschreiben. Reicht es, wenn ich einfach [mm]M(m \times n,K)[/mm] da hin schreibe? Meine Tutorin hat auch gesagt, dass wir zeigen sollen, dass es eine Basis ist. Wie kann ich jedoch über einer beliebigen Matrix zeigen, dass sie EZS und lin. unabh. ist? Ich komme da nicht so richtig weiter...
Dankbar für jeden weiteren Tipp
Frosty
PS (Frage an marc): Hast du was am System verändert? In letzter Zeit habe ich oft diese "Hohe-Server-Last" bekommen, doch in den letzten zwei Tagen lief alles wunderbar schnell (trotz der fast 700 Mitglieder). Ganz ganz dickes Lob.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Frosty!
> ich habe genau die gleiche Aufgabe gestellt bekommen und
> komme trotz der Erläuterungen nicht weiter.
> Ich weiß, dass [mm]Hom_K(,V,W) \cong M(m \times n,K)[/mm] ist, wenn
> [mm]dim V = n,\ dim W = m[/mm]. Doch wie soll ich jetzt eine
> konkrete Basis aufschreiben. Reicht es, wenn ich einfach
> [mm]M(m \times n,K)[/mm] da hin schreibe? Meine Tutorin hat auch
> gesagt, dass wir zeigen sollen, dass es eine Basis ist. Wie
> kann ich jedoch über einer beliebigen Matrix zeigen, dass
> sie EZS und lin. unabh. ist? Ich komme da nicht so richtig
> weiter...
Eine Matrix aus $M(m [mm] \times [/mm] n,K)$ ist ja nichts anderes als ein Vektor aus [mm] $K^{n*m}$ [/mm] (Addition und Skalarmultiplikation lassen sich ja direkt übertragen).
Wenn du dir nun die kanonische Standardbasis [mm] $\vektor{1\\0\\\vdots\\0},\vektor{0\\1\\\vdots\\0},\ldots$ [/mm] für [mm] $K^{n*m}$ [/mm] ansiehst und in den Vektorraum der Matrizen zurück überträgst, erhältst du dort doch als Basis Matrizen, die an genau einer Stelle eine 1 stehen haben und sonst nur Nullen:
[mm] E_{ij}=(\delta_{ij}) [/mm] (ich hoffe, du kennst das Kronecker-Symbol [mm] $\delta_{ij}$: $\delta_{ij}=0$, [/mm] falls [mm] $i\not=j$, $\delta_{ij}=1$, [/mm] falls $i=j$)
Aus diesen n*m Stück Matrizen lassen sich doch offenbar alle Matrizen aus $M(m [mm] \times [/mm] n,K)$ erzeugen, und linear unabhängig sind sie auch.
> PS (Frage an marc): Hast du was am System verändert? In
> letzter Zeit habe ich oft diese "Hohe-Server-Last"
> bekommen, doch in den letzten zwei Tagen lief alles
> wunderbar schnell (trotz der fast 700 Mitglieder).
Ja, ich habe ein bisschen was optimiert bzw. vor kurzem meine Optimierungsarbeiten abgeschlossen (es gab viel zu optimieren )
Den größten Anteil an der höheren Leistungsfähigkeit des Servers hat aber unser Sponsor ![[]](/images/popup.gif) vd-server.de, der uns einen größeren Server eingerichtet hat Manchmal, wenn ich morgens aufwache, kann ich noch gar nicht fassen, den besten Sponsor der Welt gefunden zu haben
Viele Grüße,
Marc
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