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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 So 18.10.2009 | | Autor: | empty |
| Aufgabe 1 | (1) Für a, b, c, el RR sei S(a, b, c) das lineare Gleichungssystem
2x1 = 0
ax1 - x2 = 0
bx1 + cx2 + 3x3 = 0
Weiter sei S' das lineare Gleichungssystem
x1 + x2 + 2x3 = 0
-2x1 - x3 = 0
x1 + 3x2 + 5x3 = 0
Zeigen Sie: Für keine Wahl von (a, b, c) sind S(a, b, c) und S' äquivalent. |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme:
(a)
2x1 - 2x2 + 3x3 + 4x4 = -1
-x1 + x2 + 2x3 + 5x4 = 4
- x3 - 2x4 = -1
x1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 0
(b)
2x1 - 2x2 + 2x3 + 4x4 = -1
-x1 + x2 + 2x3 + 5x4 = 2
- x3 - 2x4 = 3
x1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 0
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Hi, ich studiere im erstem Semester Wirtschaftsmathe, jetzt haben wir ein Übungsblatt bekommen mit diesen Aufgaben. Leider steig ich da noch nicht wirklich durch und hoffe das ihr mir helfen könnt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Bei uns ist es üblich, eigene Lösungsansätze zu der Aufgabe mitzuliefern.
> (1) Für a, b, c, el RR sei S(a, b, c) das lineare
> Gleichungssystem
>
> 2x1 = 0
> ax1 - x2 = 0
> bx1 + cx2 + 3x3 = 0
>
> Weiter sei S' das lineare Gleichungssystem
>
> x1 + x2 + 2x3 = 0
> -2x1 - x3 = 0
> x1 + 3x2 + 5x3 = 0
>
> Zeigen Sie: Für keine Wahl von (a, b, c) sind S(a, b, c)
> und S' äquivalent.
Du sollst zeigen, dass egal wie du a,b und c wählst, die beiden Gleichungssysteme werden nie dieselben Lösungen haben. Dazu solltest du zunächst ausrechnen, welche Lösungen [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] das Gleichungssystem S' hat. Ihr habt sicher Methoden kennen gelernt, wie man das machen kann.
Falls nicht, verweise ich dich auf ![[]](/images/popup.gif) Gauß Algorithmus oder auf deinen Taschenrechner, wenn der sowas kann.
Du erhältst als Lösungsmenge [mm] $(\lambda,3*\lambda,-2*\lambda)$ [/mm] mit [mm] \lambda\in\IR, [/mm] d.h. unendlich viele Lösungen. Nun schau dir das Gleichungssystem S an. Durch die erste Gleichung wird der Wert von [mm] x_{1} [/mm] klar bestimmt, damit dann in der zweiten Gleichung auch der Wert von [mm] x_{2}, [/mm] und in der dritten Gleichung der von [mm] x_{3}. [/mm] Das Gleichungssystem S hat nur eine Lösung.
--> Wenn S' unendlich viele Lösungen hat, S unabhängig von (a,b,c) aber immer nur eine, können die S und S' für keine a,b,c äquivalent werden.
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen
> Gleichungssysteme:
>
> (a)
> 2x1 - 2x2 + 3x3 + 4x4 = -1
> -x1 + x2 + 2x3 + 5x4 = 4
> - x3 - 2x4 = -1
> x1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 0
>
> (b)
> 2x1 - 2x2 + 2x3 + 4x4 = -1
> -x1 + x2 + 2x3 + 5x4 = 2
> - x3 - 2x4 = 3
> x1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 0
Habt ihr Methoden zur Lösung solcher Linearen Gleichungssysteme (LGS) kennen gelernt? Wenn ja, was verstehst du nicht?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mo 19.10.2009 | | Autor: | empty |
Hi, danke schonmal. Ich habe leider nur FOS gemacht weshalb ich jetzt doch einige Lücken habe (fehlende 13. Klasse usw).
Methoden haben wir schon kennen gelernt aber ich steig jetzt erst mit dem von dir gepostet Link etwas durch.
Was ich immer noch nicht weiß ist, was haben diese leeren Stellen in den Gleichungen zu bedeuten?
Würde ja gerne meinen Lösungsansatz posten, aber habe erst heute Abend Zeit das ab zu tippen.
Gruß Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mo 19.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Alex und
> Hi, danke schonmal. Ich habe leider nur FOS gemacht weshalb
> ich jetzt doch einige Lücken habe (fehlende 13. Klasse
> usw).
>
> Methoden haben wir schon kennen gelernt aber ich steig
> jetzt erst mit dem von dir gepostet Link etwas durch.
Das ist doch schonmal nen Ansatz
>
> Was ich immer noch nicht weiß ist, was haben diese leeren
> Stellen in den Gleichungen zu bedeuten?
In Gleichungssystemen ist es üblich, die Variablen zu sortieren, und wenn in einer Gleichung einer fehlt, diese wegzulassen.
Also
[mm] \vmat{2x_{1} = 0\\ax_{1} - x_{2} = 0\\x_{1} + cx_{2} + 3x_{3} = 0 }
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{2x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=0\\ax_{1}-\green{1}x_{2}+0x_{3}=0\\\green{1}x_{1}+cx_{2}+3x_{3}=0}
[/mm]
Die zugehörige Koeffizientenmatrix [mm] \mathcal{A} [/mm] dazu wäre:
[mm] \pmat{2&0&0\\a&-1&0\\1&c&3}
[/mm]
Also wäre das LGS in der Schreibweise [mm] \mathcal{A}*\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
[mm] \pmat{2&0&0\\a&-1&0\\1&c&3}*\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Oder in noch anderer Schreibweise.
[mm] \pmat{2&0&0&|&0\\a&-1&0&|&0\\1&c&3&|&0}
[/mm]
Eine der Schreibweisen und der zugehörige Lösungsweg sollte dir aus der Schule bekannt vorkommen.
>
> Würde ja gerne meinen Lösungsansatz posten, aber habe
> erst heute Abend Zeit das ab zu tippen.
>
> Gruß Alex
Marius
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