Lineare Hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:21 Do 25.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Moin!
Könnte mir vielleicht jemand verständlich erklären, was der Spann/ lineare Hülle eines Vektorraumes ist?
Und was ist der Unterschied zwischen der linearen Hülle und dem Erzeugendensystem?
Danke schonmal,
Hanz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Do 25.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Du hast einen Vektorraum V und eine Familie von Vektoren [mm] $(v_i)_{i\in I}$. [/mm] Dann ist $span [mm] (v_i)$ [/mm] der kleinste Untervektorraum, der alle [mm] $v_i$ [/mm] enthält. Das ist eigentlich die natürlichste Variante, das zu definieren.
Was ist der Unterschied zwischen Linearer Hülle und Erzeugendsystem?
Hat man einen VR V, dann heißt [mm] $M\subset [/mm] V$ ein Erzeugendensystem von V, wenn sich jeder Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ als Linearkombination von Elementen in M schreiben lässt.
"Erzeugendensystem" zu sein, ist also eine Eigenschaft, die eine Teilmenge eines Vektorraums hat oder nicht hat.
Die Lineare Hülle haben wir oben definiert. Abstrakt gesprochen ist dies eine Abbildung, der dir einer gegebenen Teilmenge eines Vektorraums V einen bestimmten Untervektorraum von U zuordnet.
Diese Zwei Begriffe sind also rein Qualitativ (das eine ist eine Eigenschaft einer Menge, das andere ist eine "Abbildung") schon grundverschieden.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Do 25.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Diese lineare Hülle ist ne echt harte Nuss =P
Also nehmen wir den Vektorraum V, der die Elemente [mm] {v_1,...,v_n} [/mm] enthält.
Ist der Span (lineare Hülle) dieses Vektorraums dann [mm] Span{v_1,...,v_n}, [/mm] also anders gesagt [mm] \lambda_1*v_1+...+\lambda_n*v_n.
[/mm]
Was genau besagt die Definition "ist die Menge aller Linearkombinationen" eigentlich? Man kann doch ALLE Vektoren von V als Linearkombination darstellen, ob sie dann linear abhängig oder unabhängig sind ist dann ne andere Frage, oder nicht?
Das mit dem Erzeigendensystem hab ich jetzt verstanden, war ein echt guter Tipp, dass man es als eine Art Eigenschaft auffassen muss. Also jede Teilmenge, die linear unabhängige Vektoren besitzt mit denen man alle Vektoren von V erzeugen kann heißen Erzeugendensystem; hat diese Teilmenge die kleinst mögliche Zahl von lin. unabh. Vektoren, dann ist das eine Basis von V.
Könnte mir evtl. jemand die lineare Hülle am Beispiel des [mm] \IR^{4} [/mm] vielleicht erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Do 25.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Diese lineare Hülle ist ne echt harte Nuss =P
>
> Also nehmen wir den Vektorraum V, der die Elemente
> [mm]{v_1,...,v_n}[/mm] enthält.
> Ist der Span (lineare Hülle) dieses Vektorraums dann
> [mm]Span{v_1,...,v_n},[/mm] also anders gesagt
> [mm]\lambda_1*v_1+...+\lambda_n*v_n.[/mm]
Die Lineare Hülle ist (nach Definition) wirklich einfach nur der kleinste Untervektorraum, der alle die Vektoren [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] enthält. Dass dies tatsächlich gleich der Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren ist, ist ein Satz, der zunächst erstmal bewiesen werden muss.
> Was genau besagt die Definition "ist die Menge aller
> Linearkombinationen" eigentlich?
Sind [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] vektoren, dann meint man mit der "Menge aller [mm] ($\IK$-)Linearkombinationen [/mm] dieser Vektoren" die Menge [mm] $\{\sum_{k=1}^n\lambda_kv_k|\lambda_k\in \IK\}$.
[/mm]
> Man kann doch ALLE
> Vektoren von V als Linearkombination darstellen
Ja, aber man kann i.A. nicht alle Vektoren als Linearkombination von gewissen vorgegebenen Vektoren darstellen. z.B. lässt sich der Vektor $(0,1,0)$ nicht als Linearkombination der Vektoren (1,1,1),(1,1,0),(0,0,1) darstellen.
> dann linear abhängig oder unabhängig sind ist dann ne
> andere Frage, oder nicht?
Lineare Unabhängigkeit hat damit erstmal gar nix zu tun.
> Das mit dem Erzeigendensystem hab ich jetzt verstanden, war
> ein echt guter Tipp, dass man es als eine Art Eigenschaft
> auffassen muss. Also jede Teilmenge, die linear unabhängige
> Vektoren besitzt mit denen man alle Vektoren von V erzeugen
> kann heißen Erzeugendensystem;
Das stimmt zwar, aber den Zusatz mit der linearen Unabhängigkeit kannst du weglassen. z.B. ist [mm] $\IR^n$ [/mm] selbst ein Erzeugendensystem von [mm] $\IR^n$.
[/mm]
> hat diese Teilmenge die
> kleinst mögliche Zahl von lin. unabh. Vektoren, dann ist
> das eine Basis von V.
Richtig. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
> Könnte mir evtl. jemand die lineare Hülle am Beispiel des
> [mm]\IR^{4}[/mm] vielleicht erklären?
Sei [mm] $v_1=(0,0,1,0)$ [/mm] und [mm] $v_2=(1,0,1,0)$, [/mm] dann ist [mm] $U:=span\{v_1,v_2\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2|\lambda_1,\lambda_2\in\IR\}$. [/mm] Anschaulich ist das die durch die Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannte Ebene. In diesem Fall ist [mm] $\{v_1, v_2\}$ [/mm] sogar eine Basis von U.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Fr 26.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Hiho,
> Die Lineare Hülle ist (nach Definition) wirklich einfach
> nur der kleinste Untervektorraum, der alle die Vektoren
> [mm]v_1,...,v_n[/mm] enthält. Dass dies tatsächlich gleich der Menge
> aller Linearkombinationen dieser Vektoren ist, ist ein
> Satz, der zunächst erstmal bewiesen werden muss.
Aber wenn ich nun einen beliebigen Vektorraum V habe mit unendlich vielen Vektoren [mm] v_1,...,v_n [/mm] und muss davon die lineare Hülle angeben, dann ist dies doch [mm] U:=Span(v_1,...,v_n).
[/mm]
Sprich mein Span vom Unterraum U enthält dann doch genausoviele Elemente (die linearkombiniert werden) wie der ursprüngliche Vektorraum V. Warum spricht man dann vom kleinsten Unterraum?
> > Könnte mir evtl. jemand die lineare Hülle am Beispiel des
> > [mm]\IR^{4}[/mm] vielleicht erklären?
> Sei [mm]v_1=(0,0,1,0)[/mm] und [mm]v_2=(1,0,1,0)[/mm], dann ist
> [mm]U:=span\{v_1,v_2\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2|\lambda_1,\lambda_2\in\IR\}[/mm].
> Anschaulich ist das die durch die Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]
> aufgespannte Ebene. In diesem Fall ist [mm]\{v_1, v_2\}[/mm] sogar
> eine Basis von U.
>
> Gruß, Robert
Muss man immer Vektoren (hier im [mm] \IR^{4}) [/mm] vorgegeben haben oder kann man den Span auch vom ganzen [mm] \IR^{4} [/mm] beschreiben? Oder beschreibt der Span den du geschrieben hast die lineare Hülle vom ganzen [mm] \IR^{4}? [/mm] Hast du die Vektoren beliebig gewählt oder was dabei gedacht?
------------------------------------
Nehmen wir an wir sind im [mm] \IR^{3}:
[/mm]
Gegeben seien [mm] v_1=(3,2,8), v_2=(0,0,2), v_3=(6,0,2), v_4=(0,9,1), v_5=(1,2,3)
[/mm]
Dann ist der span einfach $ [mm] U:=span\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5|\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5\in\IR\} [/mm] $
Und wenn ich [mm] v_1=(3,2,8), v_2=(0,0,2) [/mm] gegeben habe, dann ist $ [mm] U:=span\{v_1,v_2\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2|\lambda_1,\lambda_2\in\IR\} [/mm] $ das meine lineare Hülle?
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> Muss man immer Vektoren (hier im [mm]\IR^{4})[/mm] vorgegeben haben
> oder kann man den Span auch vom ganzen [mm]\IR^{4}[/mm] beschreiben?
Natürlich ist [mm] Span(\IR^4) [/mm] = [mm] \IR^4 [/mm] bzw.
Span(V) = V für jeden beliebigen Vektorraum V
> ------------------------------------
>
> Nehmen wir an wir sind im [mm]\IR^{3}:[/mm]
> Gegeben seien [mm]v_1=(3,2,8), v_2=(0,0,2), v_3=(6,0,2), v_4=(0,9,1), v_5=(1,2,3)[/mm]
>
> Dann ist der span einfach
> [mm]U:=span\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5|\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5\in\IR\}[/mm]
Ja, und dies ist identisch mit dem gesamten [mm] \IR^3, [/mm]
da unter den Vektoren [mm] v_i [/mm] drei linear unabhängige vorkommen,
z.B. [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3. [/mm] Sie allein spannen schon den ganzen [mm] \IR^3
[/mm]
auf, die übrigen [mm] (v_4 [/mm] und [mm] v_5) [/mm] können nichts Neues mehr dazu
beisteuern.
> Und wenn ich [mm]v_1=(3,2,8), v_2=(0,0,2)[/mm] gegeben habe, dann
> ist
> [mm]U:=span\{v_1,v_2\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2|\lambda_1,\lambda_2\in\IR\}[/mm]
> das meine lineare Hülle?
Ja. Das kannst du dir geometrisch auch sehr leicht vorstellen:
Es handelt sich dabei um die Ebene
U: [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+\lambda_1*\vektor{3\\2\\8}+\lambda_2*\vektor{0\\0\\2}
[/mm]
Diese Menge U stellt einen Untervektorraum von [mm] \IR^3 [/mm] dar,
da sie bezüglich der linearen Operationen (Addition und
Streckung) abgeschlossen ist.
Hast du also irgendeinen Vektorraum [mm] V=\IR^n [/mm] mit
Dimension [mm] n\in \IN [/mm] und eine Menge M von Vektoren aus V,
so kann man die Menge [mm] U=span(M)\subset [/mm] V bilden, welche
alle Linearkombinationen von Vektoren aus M enthält.
U ist dann ein Untervektorraum von V mit einer Dimension
m, die sich aus der Maximalzahl linear unabhängiger
Vektoren ergibt, die sich in M (und auch in U) finden
lassen. Ist m=n, so ist span(M) = U = V.
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 26.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Hallo, danke für deine Antwort,
aber eine Frage hätte ich nur über:
> > Nehmen wir an wir sind im [mm]\IR^{3}:[/mm]
> > Gegeben seien [mm]v_1=(3,2,8), v_2=(0,0,2), v_3=(6,0,2), v_4=(0,9,1), v_5=(1,2,3)[/mm]
>
> >
> > Dann ist der span einfach
> >
> [mm]U:=span\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5|\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5\in\IR\}[/mm]
>
>
> Ja, und dies ist identisch mit dem gesamten [mm]\IR^3,[/mm]
> da unter den Vektoren [mm]v_i[/mm] drei linear unabhängige
> vorkommen,
> z.B. [mm]v_1, v_2[/mm] und [mm]v_3.[/mm] Sie allein spannen schon den ganzen
> [mm]\IR^3[/mm]
> auf, die übrigen [mm](v_4[/mm] und [mm]v_5)[/mm] können nichts Neues mehr
> dazu
> beisteuern.
Woran sieht man genau auf einen Blick, ob die Vektoren linear unabhängig sind? Kann man bei den ersten drei Vektoren sagen sie spannen den gesamten [mm] \IR^{3} [/mm] auf, da es drei Vektoren sind, die an mind. einer Stelle [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] eine Zahl stehen haben?
> > Und wenn ich [mm]v_1=(3,2,8), v_2=(0,0,2)[/mm] gegeben habe, dann
> > ist
> >
> [mm]U:=span\{v_1,v_2\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2|\lambda_1,\lambda_2\in\IR\}[/mm]
> > das meine lineare Hülle?
>
>
> Ja. Das kannst du dir geometrisch auch sehr leicht
> vorstellen:
> Es handelt sich dabei um die Ebene
>
> U:
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+\lambda_1*\vektor{3\\2\\8}+\lambda_2*\vektor{0\\0\\2}[/mm]
>
> Diese Menge U stellt einen Untervektorraum von [mm]\IR^3[/mm] dar,
> da sie bezüglich der linearen Operationen (Addition und
> Streckung) abgeschlossen ist.
Lasse ich bei meinem ersten Beispiel [mm] v_4 [/mm] und [mm] v_5 [/mm] weg, so erhalte ich doch eine Basis von V oder?
Bei meinem zweiten Beispiel müsste ich hingegen einen linear unabhängigen Vektor ergänzen, um eine Basis von V zu erhalten.
Gruß, Hanz
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Hallo Hanz,
> > > Nehmen wir an wir sind im [mm]\IR^{3}:[/mm]
> > > Gegeben seien [mm]v_1=(3,2,8), v_2=(0,0,2), v_3=(6,0,2), v_4=(0,9,1), v_5=(1,2,3)[/mm]
> > >
> > > Dann ist der span einfach
> [mm]U:=span\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5|\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5\in\IR\}[/mm]
> >
> >
> > Ja, und dies ist identisch mit dem gesamten [mm]\IR^3,[/mm]
> > da unter den Vektoren [mm]v_i[/mm] drei linear unabhängige
> > vorkommen,
> > z.B. [mm]v_1, v_2[/mm] und [mm]v_3.[/mm] Sie allein spannen schon den
> ganzen [mm]\IR^3[/mm] auf, die übrigen [mm](v_4[/mm] und [mm]v_5)[/mm]
> > können nichts Neues mehr dazu beisteuern.
>
> Woran sieht man genau auf einen Blick, ob die Vektoren
> linear unabhängig sind?
Möglicherweise sieht man sowas nicht auf den
ersten Blick - dann muss man genauer nachsehen
und ev. auch -rechnen.
> Kann man bei den ersten drei
> Vektoren sagen sie spannen den gesamten [mm]\IR^{3}[/mm] auf, da es
> drei Vektoren sind, die an mind. einer Stelle [mm](x_1,x_2,x_3)[/mm]
> eine Zahl stehen haben?
Ich hab mir's so klar gemacht, dass man die aus
den drei Vektoren gebildete Matrix leicht auf
vollständige Zeilenstufenform bringen kann.
> > > Und wenn ich [mm]v_1=(3,2,8), v_2=(0,0,2)[/mm] gegeben habe, dann
> > > ist
> > >
> >
> [mm]U:=span\{v_1,v_2\}=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2|\lambda_1,\lambda_2\in\IR\}[/mm]
> > > das meine lineare Hülle?
> >
> >
> > Ja. Das kannst du dir geometrisch auch sehr leicht
> > vorstellen:
> > Es handelt sich dabei um die Ebene
> >
> > U:
> >
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+\lambda_1*\vektor{3\\2\\8}+\lambda_2*\vektor{0\\0\\2}[/mm]
> >
> > Diese Menge U stellt einen Untervektorraum von [mm]\IR^3[/mm] dar,
> > da sie bezüglich der linearen Operationen (Addition
> und
> > Streckung) abgeschlossen ist.
>
>
> Lasse ich bei meinem ersten Beispiel [mm]v_4[/mm] und [mm]v_5[/mm] weg, so
> erhalte ich doch eine Basis von V oder?
Ja; [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] ist dort eine Basis, aber z.B. auch [mm] \{v_3,v_4,v_5\}
[/mm]
> Bei meinem zweiten Beispiel müsste ich hingegen einen
> linear unabhängigen Vektor ergänzen, um eine Basis von V zu
> erhalten.
Falls dies gefragt sein sollte - ja.
LG
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