Lineare Näherung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Do 29.12.2005 | | Autor: | depp |
| Aufgabe | Es sei m0 die Ruhemasse eines Körpers, v seine Geschwindigkeit und c die Lichtgeschwindigkeit. Für kleine Geschwindigkeiten (v/c klein) findet man für die relativistische Massenformel folgende Näherung angegeben:
[mm]m=\bruch{m_0}{\wurzel{1-(\bruch{v}{c})^2}} \approx m_0+\bruch{1}{2}m_0(\bruch{v}{c})^{2} [/mm]
Begründen Sie diese Näherung (rein mathematisch!) und zeigen Sie, dass für v [mm]\to[/mm] 0 der Fehler dieser Näherung schneller als v² gegen Null geht. Hinweis: Ermitteln Sie zunächst die lineare Näherung für [mm]\bruch{m_0}{\wurzel{1-x}}[/mm] |
Hallo,
leider habe ich weder in der Vorlesung noch in der Übung verstanden, wie diese lineare Näherung funktioniert. Sie wurde zusammen mit der Differenzierbarkeit eingeführt.
Laut Vorlesungsskript kann eine Funktion in einem Punkt genau dann linear angenährt werden, wenn sie in diesem Punkt differenzierbar ist.
Die Gleichung lautet : [mm]f(t)=f(t_0)+c(t-t_0)+\varphi (t)[/mm], dabei ist [mm]t_0[/mm] der Punkt, in dem man linearisiert, [mm]f(t_0)+c(t-t_0)[/mm] ist der linearisierte Term und [mm]\varphi (t)[/mm] beschreibt den Fehler.
Wie komme ich (in dieser Aufgabe) auf [mm]c(t-t_0)[/mm] und [mm]\varphi (t)[/mm]? Irgendwie habe ich gar keine Ahnung.![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Do 29.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
es geht ja bei einer linearen Näherung darum, den Verlauf einer Funktion in der Nähe eines Punktes durch eine lineare Funktion in etwa zu beschreiben. Betrachtet man den zugehörigen Graphen ist die geeignetste Gerade dafür die Tangente an den Graphen in dem Punkt, nennen wir ihn mal [mm] t_0.
[/mm]
Die Gleichung einer Geraden kann man aber schreiben als [mm]g(t) = a + b(t-t_0) [/mm] mit geeigneten Parametern a und b. Um die Tangente zu erhalten muss also erst mal [mm]a = g(t_0) = f(t_0)[/mm] sein (0. Näherung). Weiter sollte die Steigung b der Geraden genau gleich der Ableitung [mm]f'(t_0)[/mm] sein. Als 1. Näherung um [mm] t_0 [/mm] hat man also:
[mm]f(t) \approx g(t) = f(t_0) + f'(t_0) \cdot (t - t_0)[/mm] (plus irgend einem Fehler der im allgemeinen immer größer wird, je weiter man sich von [mm] t_0 [/mm] entfernt).
Um dein c zu bestimmen brauchst Du also nur die Ableitung von f im Punkt 0 (in dessen Umgebung Du ja nähern willst).
Wie Du den Fehlerterm abschätzen sollst kann ich jetzt schlecht sagen, da müsste man vielleicht noch etwas mehr wissen, was ihr schon gemacht habt (Taylor-Entwicklung o.ä.?).
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 30.12.2005 | | Autor: | depp |
Dank piet.t habe ich nun die mathematische Begründung für die Näherung hinbekommen.
Von "Taylor" haben wir in der Vorlesung noch nichts gehört, also anders...
Der Fehler müsste doch immer gerade die Differenz der exakten Formel und der Näherung sein also:
[mm]\varphi (t)=\bruch{m_0}{\wurzel{1-(\bruch{v}{c})^2}}-(m_0+\bruch{1}{2}m_0(\bruch{v}{c})^2)[/mm]
Wenn diese Funktion schneller gegen Null laufen soll als v², müsste ja die Ableitung größer sein (zumindest im Intervall ]0, c[). Ich habe mal beide Funktionen abgelitten:
[mm]\varphi '(t)=\bruch{m_0\bruch{2v}{c^2}\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{v}{c})^2}}}{1-(\bruch{v}{c})^2}-\bruch{m_0 v}{c^2}=\bruch{2m_0 v}{c^2(1-(\bruch{v}{c})^2)^{\bruch{3}{2}}}-\bruch{m_0 v}{c^2}[/mm]
und natürlich [mm](v^2)'=2v[/mm]
Nun soll folgende Ungleichung gelten:
[mm]\bruch{2m_0 v}{c^2(1-(\bruch{v}{c})^2)^{\bruch{3}{2}}}-\bruch{m_0 v}{c^2}>2v[/mm]
[mm]\bruch{2m_0}{c^2(1-(\bruch{v}{c})^2)^{\bruch{3}{2}}}-\bruch{m_0}{c^2}>2[/mm]
[mm]-m_0(1-(\bruch{v}{c})^2)^{\bruch{3}{2}}+2m_0>2c^2(1-(\bruch{v}{c})^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
[mm]\bruch{2m_0}{2c^2+m_0}>(1-(\bruch{v}{c})^2)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
[mm]1-(\bruch{2m_0}{2c^2+m_0})^{\bruch{2}{3}}<(\bruch{v}{c})^2<1[/mm] wahre Aussage, weil [mm]0
Ist das richtig und kann man das als Lösung akzeptieren? Geht es vielleicht auch eleganter/besser?
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Hallo.
Deine Überlegungen sind alles in allem sehr richtig, konnte auch keinen Umformungsfehler entdecken.
Bloß ist der Beweis der letzten Ungleichung falschherum aufgeschrieben, man fängt mit der wahren Aussage an und leitet daraus die gewünschte Ungleichung her, die man haben will, eben genau entgegengesetzt zu dem, wie Du dir das überlegst.
Alles in allem ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , weiter so,
das mit der Eleganz kommt dann schon  (mir fällt aber auch nichts wesentlich besseres ein)
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Sa 31.12.2005 | | Autor: | depp |
Okay, ich habe noch mal über die letzte Zeile nachgedacht und ich fürchte, ich habe gar nicht gezeigt, dass die Ungleichung
[mm]1-(\bruch{2m_0}{2c^2+m_0})^{\bruch{2}{3}}<(\bruch{v}{c})^2[/mm]
erfüllt ist (was meine Absicht war), sondern lediglich, dass beide Seiten kleiner 1 sind. Leider gelingt es mir nicht die Ungleichung so umzuformen, dass man sofort sieht, dass es eine wahre Aussage ist.
Kann mir jemand hierbei weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Christian |
Hallo.
sehe irgendwie keinen Widerspruch.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Sa 31.12.2005 | | Autor: | depp |
Naja, mag sein, dass es tatsächlich keinen Widerspruch gibt, aber ich glaube, dass ich die Aufgabe nicht erfüllt habe (Zu zeigen, dass der Fehler schneller gegen Null geht als v²). Zuerst dachte ich, ich hätte gezeigt, dass die Ungleichung [mm]\varphi (t)'>(v^2)'[/mm] tatsächlich gilt, aber mein letzter Schritt zeigt doch nur, dass beide Terme (zufällig) kleiner sind als 1.
Oder sollte ich da etwa was bewiesen haben ohne es zu merken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 03.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo D
Warum man mit [mm] \phi'>v [/mm] zeigen sollte, dass [mm] \phi [/mm] schneller als v gegen 0 geht seh ich nicht! Zeichne das mal graphisch auf, dann siehst du s vielleicht.
Aber direkt geht es. mit [mm] g=\bruch{1}{\wurzel{1-x}} [/mm] und f =1+x/2 kannst du leicht ausrechnen [mm] f^{2}/g^{2}=1-3/4*x^{2}-1/4x^{3}
[/mm]
daraus wegen [mm] 0\lex<1 [/mm] $
0<f<g; [mm] $(g+f)*(g-f)=g^2-f^2=3/4*x^2+1/4*x^3$
[/mm]
mit g+f<2g daraus [mm] $g-f<(3/4*x^2+1/4*x^3)*g/2<(3/4*x^2+1/4*x^2)*g/2$
[/mm]
wegen x<1. g kann durch eine Konstante abgeschatzt wrden wenn x<.... und damit hast du [mm] 0
jetzt nur noch [mm] x=v^{2}/c^{2} [/mm] und du bist fertig.
Die Idee mit den Ableitungen der Differenzfunktion ist im Prinzip richtig, aber du musst nach unten abschätzen!
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 31.12.2005 | | Autor: | depp |
Vielleicht sollte ich noch sagen, was wir bisher in der Vorlesung hatten:
Bisher haben wir komplexe Zahlen, Folgen, Reihen, Stetigkeit und als letztes Differenzierbarkeit durchgenommen. (Am Anfang natürlich die Grundlagen, wie Axiome).
Wer es ganz genau wissen möchte kann sich eine Mitschrift einer anderen Vorlesung desselben Professors ansehen - für die Analysis A Vorlesung, die ich besuche, gibt es vom Professor kein Skript. Deshalb die Mitschrift von "Analysis 1", die etwas umfangreicher ist als unser Stoff. Unter ![[]](/images/popup.gif) http://www.stud.uni-hannover.de/~steini/#ana1
Wir sind bei Kapitel 9, Beispiel 9.11.
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