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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 20.12.2003 | | Autor: | pete |
Hallo!
Ich habe einen Sachverhalt schon in die Normalform gebracht, um mit Hilfe der Basistransformation nach dem Simplex-Algorithmus den Gewinn zu optimieren.
Ich habe 108 Geldeinheiten heraus.
Ich bin mir aber nicht sicher. Ist das richtig? (Kommen eventuell mehrere Lösungen für x1 und x2 heraus?)
Die Normalform:
z= 6*x1 + 4*x2 + 0*(x3+x4+x5+x6+x7) =>wird maximiert
3*x1 + x2+ x3 =18
2*x1 + 4*x2 + x4 = 40
3*x1 + 2*x2 + x5 = 24
x1 + x6 = 6
x2 + x7 = 4
Ich bin beim Rechnen durcheinander gekommen, weil ich schon in meiner ersten Tabelle 2 mal den Quotienten 6 hatte. Ich wusste nicht welchen ich nehmen muss, um das nächste Hauptelement zu bestimmen...
Ich bin mir dabei sehr unsicher.
Grüsse
Pete
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Sa 20.12.2003 | | Autor: | pete |
Die letzten beiden Zeilen waren zu viel und entsprachen nicht der Aufgabenstellung.:
Die Normalform:
z= 6*x1 + 4*x2 + 0*(x3+x4+x5+x6+x7) =>wird maximiert
3*x1 + x2+ x3 =18
2*x1 + 4*x2 + x4 = 40
3*x1 + 2*x2 + x5 = 24
Das ist die richtige Normalform.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 So 21.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo pete,
ich rechne es mal nach:
[mm] z=6x_1+4x_2 \to \max[/mm]
[mm] \begin{array}{rrrrrrrr}
3x_1 & +x_2 & +x_3 & & & = & 18 \\
2x_1 & +4x_2 & & +x_4 & & = & 40 \\
3x_1 & +2x_2 & & &+x_5 & = & 24 \\
\end{array}[/mm]
Daraus mache ich das Anfangs-Simplex-Tableau:
[mm] z=6x_1+4x_2[/mm]
[mm] \Leftrightarrow z-6x_1-2x_2 = 0 [/mm]
[mm]
\begin{array}{c|ccccc|c|c}
z & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 &\mbox{r.S.}&\mbox{Quotient} \\
\hline
0 & \framebox{$3$} & 1 & 1 & 0 & 0 & 18 & 18/3\\
0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 40 & 40/2\\
0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 24 & 24/3\\
\hline
1 & -6 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 &
\end{array}
[/mm]
Die Pivotspalte ist die [mm]x_1[/mm]-Spalte, da in ihr das kleinste Element (-6) der Zielfunktionszeile steht.
Der kleinste nichtnegative Quotient aus der rechten Seite (r.S.) und der Pivotspalte ist nun in der 1. Zeile zu finden (=Pivotzeile), also ist 3 das Pivotelement (umrandet).
[mm]
\begin{array}{c|ccccc|c|c}
z & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 &\mbox{r.S.}&\mbox{Quotient} \\
\hline
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 6 & 18\\
0 & 0 & 10/3 & -2/3 & 1 & 0 & 28 & 8\frac{2}{5}\\
0 & 0 & \framebox{$1$} & -1 & 0 & 1 & 6 & 6 \\
\hline
1 & 0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 36 &
\end{array}
[/mm]
Pivotspalte und -zeile finde ich wie oben auch, das Pivotelement ist wieder markiert.
[mm]
\begin{array}{c|ccccc|c|c}
z & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 &\mbox{r.S.}& \\
\hline
0 & 1 & 0 & 2/3 & 0 & -1/3 & 4 &\\
0 & 0 & 0 & 2 \frac{2}{3} & 1 & -10/3 & 8 & \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 6 & \\
\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 48 &
\end{array}
[/mm]
Hier endet der Simplex-Algorithmus, da die Zielfunktionszeile nur nicht-negative Zahlen enthält.
Damit haben wir: Das Maximum ist [mm]z_{\max}=48[/mm], und es gilt:
[mm] z+2x_5 = 48 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow z=48-2x_5 [/mm]
Die Basisvariablen sind [mm] x_1,x_2,x_4 [/mm] (das sind die Spalten mit den Einheitsvektoren)
Die maximale zulässige Basislösung lautet:
[mm] (4; 6; 0; 8; 0) [/mm]
und damit liegt das Maximum in dem Punkt:
[mm] (4; 6) [/mm]
Eine hervorragende Darstellung des Simplex-Algorithmus findet sich übrigens hier:
Simplex-Algorithmus, du wirst sehen, dass ich mich bei meiner Antwort an dieser Seite orientiert habe (ist schließlich schon etwas her, dass ich das an der Uni hatte  )
So, ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet und konnte dir weiterhelfen.
Schönen stürmischen 4. Advent,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Hugibaz |
Der Simplex-Algorithmus ist mein Lieblings-Algorithmus.
Warum? Weil er mich durch's Studium gebracht hat.
Nicht dass ich meine Aufwände durch lineare Optimierung sehr viel
effektiver gestalten konnte, viel mehr war es so, dass meine erste
Vordiploms-Mathe-Prüfung ein einziges Fiasko war, denn ich wußte
sehr wenig bis gar nichts.
Da allerdings alle Unterlagen mitgebracht werden durften, konnte
ich die erste Aufgabe (l.O. mit Simplex-Algorithmus) etwa nach 3
Stunden vollenden.
Die zweite Aufgabe erschien mir auch machbar, aber hier war ich mir
nicht sicher ob ich richtig läge.
Die anderen 6 Aufgaben habe ich nicht verstanden, Analysis sowieso
gleich mal ad acta gelegt.
So habe ich denn nach vier Stunden mit zwei bearbeiteten Aufgaben
und einer angefangenen dritten zwei beschriebene Seiten Papier
abgegeben, und der einsammelnde Mensch hat sehr mitleidig ge-
lächelt.
Tja, wer zuletzt lacht.... ich war einer von <50%, die die Prüfung be-
standen hatten. Mit 4,0 - klar... aber durch.
Das hat mir dann überhaupt den Kick gegeben das Studium durchzu-
ziehen. Auch wenn's am Ende dann doch 10 Jahre gedauert hat.
Grüße, Hugibaz
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