Lineare Polynomabbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich nichts weiß wie man anfängt....
Sei K ein Körper, sei d [mm] \in \IN \cup [/mm] {0} und seien [mm] x_o,...,x_d \in [/mm] K.
Z.Z.:
Die Abbildung [mm] \sigma: [/mm] K[t] -> [mm] K^{d+1},f(\sigma) [/mm] := [mm] (f(x_o),...,f(x_d)), [/mm] ist linear.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Di 18.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Webranger3000,
erstmal ne kleine Frage: müsste es nicht $ [mm] \sigma [/mm] (f) $ heißen, denn sigma geht von K[t] nach irgendwo, also müssen die Argumente in Sigma Polynome sein...
(Ich gehe mal also von einem Tippo aus)
ich gebe dir mal einen Tip, wie die Addition von zwei Polynomen $ [mm] p_1 [/mm] (t) $ und $ [mm] p_2 [/mm] (t) $ aus K[t] nach der einsetzung in $ [mm] x_0 [/mm] $ aussieht:
wenn ein Polynom kleineren Grad hat als das andere, kann man die restlichen Koeffizienten mit Nullen auffüllen, sein n der größere Grad:
also sei $ [mm] p_1 [/mm] (t) [mm] =\summe_{i=1}^{n}a_i*t^i [/mm] $ und $ [mm] p_2 [/mm] (t) [mm] =\summe_{i=1}^{n}b_i*t^i [/mm] $ dann ist:
$ [mm] (p_1 +p_2 )(x_0 )=\summe_{i=1}^{n}(a_i +b_i )*x_0^i [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}(a_i*x_0^i +b_i*x_0^i )=p_1 (x_0 )+p_2 (x_0 [/mm] ) $
das mit dem skalaren Faktor geht analog.
und du sollst jetzt zeigen:
1) [mm] \sigma (p_1 +p_2 )=\sigma (p_1 )+\sigma (p_2 [/mm] )
2) [mm] \sigma (\lambda *p_1 )=\lambda *\sigma (p_1 [/mm] )
Hoffe es ist jetzt einfacher komponentenWeise zu zeigen, dass es gilt...
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Okay,ich glaub ich hab das soweit verstanden,ich muss also diese beiden Axiome zeigen:
Weiß allerdings noch ein paar Sachen nicht:
1)Muss ich bei beiden [mm] p_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] den Index i nehmen, oder kann ich für einen auch j nehmen?Spielt das eine Rolle?
2)Ich hab dann zum Beispiel für den Teil (1) eben gezeigt, dass ich [mm] \sigma(p_1+p_2) [/mm] = [mm] \sigma(p_1)+\sigma(p_2) [/mm] ist.
Dazu hab ich dann erst die ganzen [mm] f(x_o),...,f(x_o) [/mm] mit [mm] f=(P_1+p_2) [/mm] hingeschrieben, und dann geordnet so, dass ich dann zum Ergebniss kam.Ist das so ok....kenn mich hier mit dem Formelschreiben nicht so aus...
3) Die Aufgabe geht dann noch so weiter:
Sind [mm] x_0,..,x_d [/mm] paarweise verschieden und sind [mm] a_0,...,a_d \in [/mm] K beliebig, so gibt es genau ein Polynom f [mm] \in [/mm] K[t] mit deg(f) (kleinergleich) d und [mm] f(x_i)=a_i [/mm] (i=0...d)
Ich glaub ich kann immer so verschiedene Sachen nicht miteinander in Verbindung bringen, weil ich weiß rein garnicht wie ich da anfangen soll :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Do 20.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
sorry - sehe das jetzt erst...
Also:
> 1)Muss ich bei beiden [mm]p_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] den Index i nehmen, oder
> kann ich für einen auch j nehmen?Spielt das eine Rolle?
es spielt schon eine Rolle, denn du musst ja f(x0) über eine Summe definieren - die hat EINEN index - wenn du jetzt f=p1+p2 setzt, dann musst du eben diese Definition einsetzen, also hast du nunmal nur den einen Index...
> Dazu hab ich dann erst die ganzen [mm]f(x_o),...,f(x_o)[/mm] mit
> [mm]f=(P_1+p_2)[/mm] hingeschrieben, und dann geordnet so, dass ich
> dann zum Ergebniss kam.Ist das so ok....kenn mich hier mit
> dem Formelschreiben nicht so aus...
Also dazu zwei Sachen:
1) ich habe oben nur eine Komponente des bildvektors betrachten (die erste mit x0) - du musst dies natürlich für alle Komponenten machen bzw. andeuten !
2)Formel-Code siehst du indem du z.B. auf meine Formeln klickst und dann bei dir einfügst und entspr. bearbeitest oder die Hilfssymbole unten benutzt.
> 3) Die Aufgabe geht dann noch so weiter:
> Sind [mm]x_0,..,x_d[/mm] paarweise verschieden und sind [mm]a_0,...,a_d \in[/mm]
> K beliebig, so gibt es genau ein Polynom f [mm]\in[/mm] K[t] mit deg(f) (kleinergleich) d und [mm]f(x_i)=a_i[/mm] (i=0...d)
Also das bedeutet doch : du sollst zeigen, dass für die Abbildung Sigma gilt: jeder Vektor $ [mm] \vektor{a_0\\.\\.\\.\\a_d} [/mm] $ hat nur genau ein Urbild.
Das bedeutet: jeder dieser Vektoren hat ein Urbild (=surjektivität) und:
dieses Urbild ist eindeutig (=Injektivität)
deine Abbildung ist bewiesener Maßen linear - deshalb ist injektivität zu zeigen, dass der d-dimensionale Nullvektor nur als Auswertung des Nullpolynoms auftreten kann (angenommen es gibt ein anderes PPolynom - wievile Nullstellen muss es dann haben? also mindestens welchen Grad?)
Surjektivität würde folgen, wenn dein VR (=der Raum der Polynome !) endlichdimensional ist - d.h. du musst noch eine Basis finden, die alle Polynome vom Grade [mm] $\le [/mm] k $ erzeugt... (und sehen, dass sie endlich ist)
hoffe es hilft wieder 
DaMenge
|
|
|
| |
|
Ok, danke für deine Hilfe :)
|
|
|
|
