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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:16 Fr 03.12.2004 | | Autor: | cremchen |
Halli hallo!
Ich bins mal wieder!
Hab hier wieder eine Aufgabe bei der ich gern mal eure Meinung hören würde!
Sie lautet:
Betrachten Sie das Lineare Problem
max [mm] c^{T}x
[/mm]
s.t. {Ax=b}
und untersuchen Sie, welche Lösungsfälle auftreten können!
Also ich habe mir das jetzt mal versucht zweidimensional vorzustellen!
Ich komme dabei auf folgendes!
A ist ein Polyeder, wobei uns hier ja nicht interessiert, wie die Lösungsmenge davon aussieht, oder?
Die Zielfunktion ist eine Gerade, die soweit nach oben, natürlich parallel, verschoben wird, bis sie das Polyeder im äußersten Punkt tangiert.
Fall 1:
Das äußerste des Polyeders ist ein Punkt, also Schnittpunkt zweier Geraden von Nebenbedingungen.
Dann gibt es genau eine Optimallösung
Fall 2:
Das äußerste des Polyeders ist eine Gerade, die parallel zur zielfunktion verläuft!
Dann sind die Punkte auf diesem Geradenstück die Optimallösungen!
Fall 3:
Das Polyeder ist nach oben geöffnet, d.h. die Zielfunktionsgerade kann unendlich weit nach oben verschoben werden.
Es gibt also keine eindeutige (zulässige?) Optimallösung. oder?
Fall 4:
Das Polyeder ist die leere Menge.
Es gibt keine Optimallösung.
Mehr Fälle fallen mir nicht mehr ein!
Im [mm] \IR^{3} [/mm] ist die Zielfunktion ja dann eine Ebene!
Da gibt es dann die Fälle:
Fall 1:
Ebene schneidet Polyeder in genau einem Punkt.
Optimallösung im Schnittpunkt
Fall 2:
Ebene schneidet Polyeder in einer Gerade.
Optimallösungen auf der Gerade.
Fall 3:
Ebene liegt parallel zu Seite des Polyeders.
Optimallösungen in der Ebene.
Fall 4:
Polyeder nach oben offen.
keine eindeutige Optimallösung.
Fall 5:
Polyeder ist leer.
keine Optimallösung.
Also nun ja, nach dem [mm] \IR^{3} [/mm] hört meine Vorstellungsgabe auf!
Wie gehts dann weiter mit den ganzen anderen Dimensionen?
Ich wär echt dankbar für Hilfe und wenn nötig auch Verbesserungen!
Liebe Grüße
Ulrike
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