Lineare (Un-)Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Di 05.12.2006 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo, nur eine kurze Frage.
Ich habe 3 Vektoren mit je 3 einträgen. Und will zeigen ob sie entweder linear abhängig oder unabhängig sind.
Mein erster Anatz wäre, die 3 Vektoren als Spalten einer 3*3 Matrix zu schreiben mit der Nullmatrix als Lösungsvektor. Wenn das LGS jetzt eindeutig lösbar ist, sich also auf Zeilenst.f. bringen lässt, dann ist es linear unabhängig,weil der Nullvektor genau eine Lösung hat, und das ist natürlich die triviale Lösung. und wenn nicht, dann ist es linear abhöängig, weil es mehrere Lösungen gibt, also auch noch die Lösungen für linearkombinationen der 3 Vektoren?
Eine andere Möglichkeit wäre wohl einen der drei Vektoren als Lösungsvektor der beiden anderen zu schreiben. Wenn dieses LGS lösbar ist, bedeutet dass ja dass die Vektoren durch linearkombination der beiden anderen erzeugt werden können?.
Sind beide Lösungsansätze richtig?
[mm] EDIT\\ [/mm] Und noch eine andere Frage: Wie zeige ich im allgemeinen dass ein Vektorraum endlich erzeugt ist? Ist der Ansatz immer ein endliches Erzeugendensystem bzw Basis zu finden oder gibt es weitere Kriterien die zeigen dass ein vektorraum endlich erzeugt ist?
mfg
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Di 05.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Mein erster Anatz wäre, die 3 Vektoren als Spalten einer
> 3*3 Matrix zu schreiben mit der Nullmatrix als
> Lösungsvektor. Wenn das LGS jetzt eindeutig lösbar ist,
> sich also auf Zeilenst.f. bringen lässt, dann ist es linear
> unabhängig,weil der Nullvektor genau eine Lösung hat, und
> das ist natürlich die triviale Lösung. und wenn nicht, dann
> ist es linear abhöängig, weil es mehrere Lösungen gibt,
> also auch noch die Lösungen für linearkombinationen der 3
> Vektoren?
Das ist vollkommen richtig - es reicht also (wegen deiner Ueberlegung eben) die Vektoren als Zeilen oder Spalten in eine Matrix zu schreiben und den rang (durch umformung in zeilenstufenform) zu bestimmen.
Wenn du die Vektoren als Zeilen in die Matrix schreibst und nur zeilenumformungen machst (der zeilenraum bleibt also im erzeugnis der vektoren), bekommst du durch die entstehende Zeilenstufenform gleich eine Basis des Raumes mitgeliefert...
> Eine andere Möglichkeit wäre wohl einen der drei Vektoren
> als Lösungsvektor der beiden anderen zu schreiben. Wenn
> dieses LGS lösbar ist, bedeutet dass ja dass die Vektoren
> durch linearkombination der beiden anderen erzeugt werden
> können?.
hmm, hier steckt ein kleiner Fehler drinne:
Es ist zwar richtig, dass man einen Vektor als LinKombi der anderes darstellen kann, wenn diese linear abhaengig sind, aber du weisst vorher nicht, welchen vektor !
(nicht jeder vektor muss durch die anderen darstellbar sein !)
> [mm]EDIT\\[/mm] Und noch eine andere Frage: Wie zeige ich im
> allgemeinen dass ein Vektorraum endlich erzeugt ist? Ist
> der Ansatz immer ein endliches Erzeugendensystem bzw Basis
> zu finden oder gibt es weitere Kriterien die zeigen dass
> ein vektorraum endlich erzeugt ist?
naja, wenn du eine basis findest, die endlich ist, bist du fertig.
Man koennte auch per Widerspruch argumentieren, also annehmen, es gaebe keine endliche basis und dann irgendwie auf einen widerspruch zu kommen.
Das ist aber sehr stark von der aufgabe und dem kontext abhaengig, ganz allgemein, was das beste vorgehen ist, kann man wohl kaum sagen.
(dies ist aber eine eigene Frage und sollte in einen eigenen Thread)
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 05.12.2006 | | Autor: | Thomas85 |
Super, viele dank!
mfg Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Di 05.12.2006 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo, ich ahb jetzt nochmal eine spezielle Frage.
Habe die Vektorenmenge {(1,1,1),(2,2,2),(2,-1,1)}
die matrix in Zeilenst.form sieht dann so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
mir fällt jetzt etwas schwer das richtig zu interpretieren.
meiner meinung nach bedeutet das, dass die Menge der Vektoren damit linear abhängig ist, weil -1*x3=0 => x3=0, aber die ersten beiden Vektoren linear abhängig sind, oder ist das falsch?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 05.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1}[/mm]
also bei uns hierß zeilenstufenform immer, dass jede Zeile echt weniger einträge haben muss als eine darüberliegende (außer alles gleich 0), also hier müsste man noch die letzte zeile zur nullzeile machen
> meiner meinung nach bedeutet das, dass die Menge der
> Vektoren damit linear abhängig ist, weil -1*x3=0 => x3=0,
ja, der rang in zeilenstufenform ist 2, also der durch die 3 Vektoren aufgespannte raum ist 2-dimensional - also sind die drei vektoren lin. abhängig
> aber die ersten beiden Vektoren linear abhängig sind, oder
> ist das falsch?
du meintest : linear UNabhängig , oder?
ja, das stimmt, denn in zeilenstufenform sind alle Vektoren, die nicht die Nullzeile sind linear unabhängig (warum?)
ach so: sieht so aus, als hättest du deine drei Vektoren als SPALTEN in die matrix geschrieben und dann zeilenumformungen gemacht - dann sind die zeilen (als vektoren) natürlich nicht mehr im Erzeugnis der drei ursprünglichen, also die zwei lin.unabhängigen vektoren sind keine Basis des Raumes
(dazu müsstest du die drei Vektoren als ZEILEN in die matrix schreiben und danach nur zeilentransformationen machen)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Di 05.12.2006 | | Autor: | Thomas85 |
ja ich meinte schon linear abhängig, aber du hast natürlich recht, war totaler quatsch.
also vielen dank nochmal!
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