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| Aufgabe | Es seien fi ∈ [mm] C^0 [/mm] [0, 1],
f1(t) = (t − [mm] 2)^2, [/mm] f2(t) = tan t , f3(t) = 4t, f4(t) = [mm] e^{3t}, [/mm] f5(t) = [mm] t^2 [/mm] + 4.
(a) Sind f1, f2 und f3 linear unabhängig? |
Juten Abend!
Das ganze hab ich mir so gedacht:
λ1f1 + λ2f2 + λ3f3 = 0
⇔ λ1f1(x) + λ2f2(x) + λ3f3(x) = 0 für alle x ∈ [0, 1]
Jetzt weis ich aber nicht was [mm] C^0 [/mm] ist... [mm] C^1 [/mm] waren alle stetig, differenzierbaren Funktionen, aber [mm] C^0...?
[/mm]
In der Lösung hab ich gefunden, dass für x:= 0, [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] und [mm] \bruch {\pi}{4}
[/mm]
eingesetzt wurden, und die lineare Unabhängigkeit gezeigt wurde.
Das versteh ich nicht ganz. Warum ist das dann für das komplette Intervall die lin. U. gezeigt?
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 09.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man
[mm] \lambda1*f1(t_i)+\lambda2*f2(t_i)+\lambda3*f3(t_i)=0 [/mm] für i=1,2,3 [mm] t_i\ne t_k [/mm] nicht erfüllen kann dann sind doch die 3 fkt. garantiert nicht lin abhängig! die 3 verschieden stellen sind dabei irgendwelche, weil tan an den Stellen besonders einfach ist eben die.
[mm] \IC^0 [/mm] sind die stetigen Funktionen
Gruss leduart.
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Hmm...
Also das hab ich trotzdem nicht gerafft. Warum reichen mir drei Werte? Könnte es nicht noch andere Werte auf dem kompakten Intervall geben?
Viele Grüße Rainer
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Hallo,
für die lineare Unabhängigkeit stellst Du Dir die Frage nach den Lösungen von
Nullfunktion= [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3.
[/mm]
Gibt es nur die triviale Lösung, alle [mm] \lambda_i=0, [/mm] oder gibt es auch eine nichttriviale Lösung?
Was bedeutet Nullfunktion= [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3?
[/mm]
Es bedeutet, daß für alle x im Definitionsbereich
0=Nullfunktion(x)= [mm] \lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)+\lambda_3f_3(x)= \lambda_1(x-2)^2+\lambda_2tanx+\lambda_34x [/mm] gelten muß.
Für alle x - also INSBESONDERE auch für x=0, $ [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] $ und $ [mm] \bruch {\pi}{4} [/mm] $. (Die wurden jetzt ausgewählt, weil man mit ihnen einigermaßen gut rechnen kann, und weil es funktioniert. Möglicherweise hat man vorher alles mögliche andere vergeblich versucht.)
Man erhält mit diesen drei Stellen
0= [mm] \lambda_1(0-2)^2+\lambda_2tan0+\lambda_34*0=4\lambda_1 [/mm] und
0= [mm] \lambda_1(\bruch{\pi}{6}-2)^2+\lambda_2tan\bruch{\pi}{6}+\lambda_34*\bruch{\pi}{6} [/mm] und
[mm] 0=\lambda_1(\bruch{\pi}{4}-2)^2+\lambda_2tan\bruch{\pi}{4}+\lambda_34*\bruch{\pi}{4}=\lambda_1(\bruch{\pi}{4}-2)^2+\lambda_2+\lambda_3\pi
[/mm]
Lösung des Systems ergibt dann [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
Warum reicht das?
Dieses System aus drei Gleichungen wird nur von [mm] \lambda_i=0 [/mm] gelöst.
Also kann es für 0= [mm] \lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)+\lambda_3f_3(x) [/mm] für alle x im Definitionsbereich
nur die triviale Lösung geben.
Also hat Nullfunktion= [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3 [/mm] nur die triviale Lösung und somit sind die [mm] f_i [/mm] unabhängig.
Aber Vorsicht: für Abhängigkeit genügt es nicht, irgendwelche drei Stellen zu betrachten, denn es muß Nullfunktion= [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3 [/mm] gelten für alle x.
Gruß v. Angela
Wichtig ist folgendes: für die lineare Abhängigkeit genügt es NICHT, wenn man lediglich drei beliebige Stellen betrachtet.
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Jo!
Vielen Dank für deine Mühe...
Stand da wohl etwas aufm Schlauch :)
Wirklich super erklärt!
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