Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Fr 05.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] $\IK$-Vektorraum, $\lambda_1$, [/mm] ..., [mm] $\lambda_n$ \in \IK [/mm] und [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n \in [/mm] V sind linear unabhängig.
x := [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i x_i [/mm]
Man zeige : x - [mm] x_1, [/mm] $x - [mm] x_2, [/mm] ... , x - [mm] x_n [/mm] sind ebenfalls linear unabhängig wenn [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i \not= [/mm] 1 |
Also das definierte x ist sicherlich selbst linear unabhängig.
Nimmt man davon aber mehrere ist das abhängig.
Zieht man davon einen der linear unabhängigen ab wird es sicherlich wieder insgesamt l.u.
Nur warum muss die Summe von [mm] \lambda \not= [/mm] 1 sein?
Ich versteh glaub ich die Aufgabe nicht.
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> Sei V ein [mm]\IK[/mm]-Vektorraum, [mm]\lambda_1[/mm], ..., [mm]\lambda_n[/mm] [mm]\in \IK[/mm]
> und [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n \in[/mm] V sind linear unabhängig.
> x := [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i x_i[/mm]
>
> Man zeige : x - [mm]x_1,[/mm] $x - [mm]x_2,[/mm] ... , x - [mm]x_n[/mm] sind
> ebenfalls linear unabhängig wenn [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i \not=[/mm]
> 1
> Also das definierte x ist sicherlich selbst linear
> unabhängig.
Hallo,
ja, das haben einzelne vektoren so an sich, wenn sich's nicht gerade um den Nullvektor handelt.
> Nimmt man davon aber mehrere ist das abhängig.
??? Wovon mehrere? Was meinst Du mit "das"?.
> Zieht man davon einen der linear unabhängigen ab wird es
> sicherlich wieder insgesamt l.u.
> Nur warum muss die Summe von [mm]\lambda \not=[/mm] 1 sein?
> Ich versteh glaub ich die Aufgabe nicht.
Ich habe auch diesen Eindruck.
Gegeben ist Dir eine Menge linear unabhängiger Vektoren [mm] x_1,...,x_n.
[/mm]
Nun bastelt man sich eine Linearkombination aus diesen Vektoren, den Vektor [mm] x:=\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] ... + [mm] \lambda_nv_n.
[/mm]
Jetzt schaut man sich die n Vektoren an, die entstehen, wenn man von x jeweils [mm] x_1, ...,x_n [/mm] subtrahiert, also die n Vektoren
[mm] (\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] ... + [mm] \lambda_nv_n)-x_1, (\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] ... + [mm] \lambda_nv_n)-x_2, [/mm] ... [mm] ,(\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] ... + [mm] \lambda_nv_n)-x_n.
[/mm]
Die Behauptung lautet nun: sofern [mm] \lambda_1 [/mm] + ...+ [mm] \lambda_n\not=0, [/mm] sind die n Vektoren
[mm] (\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] ... + [mm] \lambda_nv_n)-x_1, (\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] ... + [mm] \lambda_nv_n)-x_2, [/mm] ... [mm] ,(\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] ... + [mm] \lambda_nv_n)-x_n [/mm] linear unabhängig.
Einen Beweis würde ich direkt über die Def. der Unabhängigkeit versuchen, unter Garantie spielt die Unabhängigkeit der [mm] x_i [/mm] eine Rolle.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Fr 05.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Ok. Wie unten versucht. Es irritiert mich nur das es nur geht wenn [mm] \summe_{i=1}^n \not= [/mm] 1 .
Zu zeigen ist die lineare Unabhängigkeit:
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] [ [mm] \alpha_i [/mm] (x - [mm] x_i) [/mm] ] [mm] \not= [/mm] 0 ; [mm] \alpha_i \in \IK
[/mm]
Somit ist für die Definition zu Zeigen:
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] [ [mm] \alpha_i [/mm] (( [mm] \summe_{j=0}^{n} \lambda_j [/mm] * [mm] x_i [/mm] ) - [mm] x_i) [/mm] ] [mm] \not= [/mm] 0
Super. Jetz hab ich stumpf eingesetzt. Gott wie ich auf einmal garnix mehr versteht. Direkt mal mehrere Übungsbücher bei Amazon geholt.
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> Ok. Wie unten versucht. Es irritiert mich nur das es nur
> geht wenn [mm]\summe_{i=1}^n \not=[/mm] 1 .
Hallo,
wahrscheinlich sieh man im Verlauf des Beweises, wo das eine Rolle spielt, da würd' ich mir erstmal gar nicht den Kopf zerbrechen.
>
> Zu zeigen ist die lineare Unabhängigkeit:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] [ [mm]\alpha_i[/mm] (x - [mm]x_i)[/mm] ] [mm]\not=[/mm] 0 ; [mm]\alpha_i \in \IK[/mm]
Ömm - lies nochmal genau nach, wie die lineare Unabhängigkei definiert ist. Ohne Kenntnis der Definitionen geht's nicht.
>
> Somit ist für die Definition zu Zeigen:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] [ [mm]\alpha_i[/mm] (( [mm]\summe_{j=0}^{n} \lambda_j[/mm]
> * [mm]x_i[/mm] ) - [mm]x_i)[/mm] ] [mm]\not=[/mm] 0
>
> Super. Jetz hab ich stumpf eingesetzt. Gott wie ich auf
> einmal garnix mehr versteht.
Sei doch etwas netter zu Dir! Mit diesen Summen ist das doch so unübersichtlich .
Schreib's doch ausführlich hin - zumindest auf dem Zettel ins Unreine kann man das doch mal machen:
Es seine also [mm] a_i \in [/mm] k mit
[mm] a_1[$ (\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] $ ... + $ [mm] \lambda_nv_n-x_1)+a_2 (\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] $ ... + $ [mm] \lambda_nv_n-x_2)+$ [/mm] ... [mm] $+(\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ [/mm] $ ... + $ [mm] \lambda_nv_n-x_n) [/mm] $=0
Jetzt würde ich sortieren:
[mm] (...)v_1 [/mm] + [mm] (...)v_2 [/mm] + ... + [mm] (...)v_n=0,
[/mm]
und dann die lineare Unabhängigkeit ausspielen.
Gruß v. Angela
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