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| Aufgabe | Bestimmen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Wenn eine Aussage falsch ist, geben Sie ein Gegenbeispiel an. Wenn sie wahr ist, begründen Sie Ihre Entscheidung.
Seien V,W Vektorräume F : V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung sowie [mm] (w_{1}, [/mm] ..., [mm] w_{k}) [/mm] eine linear unabhängige Familie in Bild(F). Setzt man S = [mm] (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{k}) [/mm] mit [mm] F(v_{i}) [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] (i = 1, ..., k), so ist S eine linear unabhängige Familie. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
das habe ich bis jetzt:
0 = [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} w_{i} \Rightarrow \lambda_{i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i= 1, ..., k
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} F(v_{i})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] F(\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} v_{i})
[/mm]
Hier komme ich aber nicht weiter. Wie kann ich ab hier weitermachen?
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Hallo,
nachdem ich jetzt stundenlang gerätselt habe, meine ich auf eine Lösung gekommen zu sein. Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob man das so schreiben kann.
zz: S linear unabhängig
Annahme: S linear abhängig
Beweis:
Da [mm] (w_{i}) [/mm] linear unabhängig, gilt:
0 = [mm] \lambda_{1} w_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k} w_{k} (\lambda_{i} [/mm] = 0)
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] \lambda_{1} F(v_{1}) [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k} F(v_{k}) [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] F(\lambda_{1} v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k} v_{k})
[/mm]
Da S linear abhängig [mm] \Rightarrow \exists \lambda_{j} \not= [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] F(\lambda v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k} v_{k}) [/mm] + [mm] F(\lambda_{j} v_{j})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] - [mm] F(\lambda v_{j}) [/mm] = [mm] F(\lambda_{1} v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k} v_{k})
[/mm]
Auf beiden Seiten mit - [mm] \bruch{1}{\lambda_{j}} [/mm] multiplizieren
[mm] \gdw F(v_{j}) [/mm] = [mm] F(-\bruch{\lambda_{1}}{\lambda_{j}} v_{1} [/mm] + ... + [mm] -\bruch{\lambda_{k}}{\lambda_{j}} v_{k})
[/mm]
[mm] \gdw w_{j} [/mm] = [mm] -\bruch{\lambda_{1}}{\lambda_{j}} w_{1} [/mm] + ... + [mm] -\bruch{\lambda_{k}}{\lambda_{j}} w_{k}
[/mm]
Da [mm] -\bruch{\lambda_{i}}{\lambda_{j}} \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] Linearkombination
[mm] \Rightarrow (w_{i}) [/mm] linear abhängig [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch!
[mm] \Rightarrow [/mm] S muss linear unabhängig sein
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> Hallo,
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> nachdem ich jetzt stundenlang gerätselt habe, meine ich auf
> eine Lösung gekommen zu sein. Wäre nett, wenn mir jemand
> sagen könnte, ob man das so schreiben kann.
Hallo,
"so schreiben" wurde ich nicht sagen. Das muß verschlankt werden und prägnanter gestaltet, aber der Gedanke funktioniert.
> zz: S linear unabhängig
> Annahme: S linear abhängig
>
> Beweis:
> Da S linear abhängig [mm]\Rightarrow
gibt es \lambda_i
> \exists \lambda_{j} \not=[/mm] 0
für ein j
mit
[mm] 0=\summe\lambda_iF(v_I)
[/mm]
==>
> 0 = [mm]F(\lambda v_{1}[/mm] + ... + [mm]\lambda_{k} v_{k})[/mm] +
> [mm]F(\lambda_{j} v_{j})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] - [mm]F(\lambda v_{j})[/mm] =
> [mm]F(\lambda_{1} v_{1}[/mm] + ... + [mm]\lambda_{k} v_{k})[/mm]
>
> Auf beiden Seiten mit - [mm]\bruch{1}{\lambda_{j}}[/mm]
> multiplizieren
(denn [mm] \lambda_j\not=0)
[/mm]
>
> [mm]\gdw F(v_{j})[/mm] = [mm]F(-\bruch{\lambda_{1}}{\lambda_{j}} v_{1}[/mm] +
> ... + [mm]-\bruch{\lambda_{k}}{\lambda_{j}} v_{k})[/mm]
> [mm]\gdw w_{j}[/mm]
> = [mm]-\bruch{\lambda_{1}}{\lambda_{j}} w_{1}[/mm] + ... +
> [mm]-\bruch{\lambda_{k}}{\lambda_{j}} w_{k}[/mm]
>
> Da [mm]-\bruch{\lambda_{i}}{\lambda_{j}} \in[/mm] K [mm]\Rightarrow[/mm]
> Linearkombination
> [mm]\Rightarrow (w_{i})[/mm] linear abhängig [mm]\Rightarrow[/mm]
> Widerspruch!
Widerspruch zur Voraussetzung.
> [mm]\Rightarrow[/mm] S muss linear unabhängig sein.
Für die Abgabe würde ich manche Umformungen, wenn du was aus f(...) rausziehst oder etwas reinbringst, noch etwas ausführlicher schreiben.
Gruß v. Angela
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Danke für die Antwort. Ich habe mich bei den Umformungen an ein Beispiel zur linearen Unabhängigkeit (jedoch ohne lineare Abbildungen) aus der Vorlesung gehalten. Der Professor hat es ähnlich gestaltet.
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> Bestimmen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch
> sind. Wenn eine Aussage falsch ist, geben Sie ein
> Gegenbeispiel an. Wenn sie wahr ist, begründen Sie Ihre
> Entscheidung.
>
> Seien V,W Vektorräume F : V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung
> sowie [mm](w_{1},[/mm] ..., [mm]w_{k})[/mm] eine linear unabhängige Familie
> in Bild(F). Setzt man S = [mm](v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{k})[/mm] mit [mm]F(v_{i})[/mm]
> = [mm]w_{i}[/mm] (i = 1, ..., k), so ist S eine linear unabhängige
> Familie.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> das habe ich bis jetzt:
>
> 0 = [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} w_{i} \Rightarrow \lambda_{i}[/mm]
> = 0 [mm]\forall[/mm] i= 1, ..., k
>
> 0 = [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} F(v_{i})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 = [mm]F(\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} v_{i})[/mm]
>
> Hier komme ich aber nicht weiter. Wie kann ich ab hier
> weitermachen?
Hallo,
die Sache krank an etwas, was ich in den vergangenen tagen schon oft geschreiben habe - aber nicht Dir.
Es ist ganz wichtig, daß man sich vor dem Rechnen die Aussage klarmacht, die man zeigen möchte, und sich auch aufschreibt, was die Voraussetzung ist und was das zu Zeigende.
Wenn man das hat, ist nämlich schonmal viel gewonnen.
Behauptung: [mm] (F(v_1), [/mm] ..., [mm] F(v_k)) [/mm] linear unabhängig ==> [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_k) [/mm] linear unabhängig.
Voraussetzung: [mm] (F(v_1), [/mm] ..., [mm] F(v_k)) [/mm] linear unabhängig, d.h.
aus [mm] \summe \lambda_iF(v_i)=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_i [/mm] =0 f.a i.
zu zeigen: [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_k) [/mm] linear unabhängig, d.h.
aus [mm] \summe\lambda_iv_i=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
Beweis: es sei [mm] \summe\lambda_iv_i=0 [/mm] ==> ...
Nun mußt Du unter Einsatz der Voraussetzung so argumentieren, so daß am Ende [mm] \lambda_i=0 [/mm] dasteht.
Alle wesentlichen Gedanken hast Du oben schon gedacht, aber da Du das Problem nicht genügend analysiert hattest, ist kein Beweis zustande gekommen.
Gruß v. Angela
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