Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab hier nochmal zwei kleine Beispiel, bei denen es ein bisschen hackt...
Beispiel 1
$n=1$
Wann ist [mm] $A=\{ x_1 \} \subset [/mm] V$ linear unabhängig?
Da [mm] ax_1=0 [/mm] nur dann, wenn $a=0$ oder $x=0$ ist, ist [mm] $A=\{ x_1 \}$ [/mm] linear unabhängig genau dann, wenn [mm] x_1\not=0.
[/mm]
Insbesondere besitzt der Nullvektorraum [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] keinen linear unabhängigen Vektor.
Fragen
1) Das "oder" ist doch ein einschließendes Oder, oder nicht?
Ein Produkt kann ja auch dann 0 sein, wenn beide Faktoren 0 sind. Warum darf [mm] x_1 [/mm] dann nicht 0 sein?
Das der Koeffizient a gleich 0 sein muss, ist klar, das sagt ja dieser Satz, dass Vektoren genau dann l.u. sind, wenn alle Koeffizienten 0 sind.
2) Heißt dass, einzelne, von Null verschiedene Vektoren sind immer linear unabhängig?
(Zu wem sollten sie auch linear abhängig sein?)
3) Der Satz mit dem Nullvektorraum, ist das im Grunde sowas, wie ich grade in Frage 2) vermutet habe, dass ein Vektor alleine nicht linear abhängig sein kann (hier dann mit dem Nullvektor als einzelnem Vektor)?
Beispiel 2
Also ich hab hier zwei Beispiel, die meiner Meinung nach vom Ausgangspunkt identisch sind, und dann ein verschiedenes Ergebnis haben, und ich weiß nun nicht, welches stimmt.
Ich schreib mal beide hin:
1) [mm] $x_1,...,x_n \in [/mm] V$, [mm] x_1=0. [/mm] Dann sind [mm] x_1,...,x_n [/mm] nicht linear unabhängig, da [mm] 1*x_1+0*x_2+...+0*x_n=0
[/mm]
2) Sei $A [mm] \subset [/mm] V$ und $0 [mm] \in [/mm] A$. Dann ist A linear unabhängig.
Allgemein: A linear unabhängig, $A' [mm] \subset [/mm] A$ [mm] \Rightarrow [/mm] A' linear unabhängig.
Fragen
1) Also wenn ich in Version 2) A gleich [mm] x_1,...,x_n [/mm] setze, dann sind doch die beiden Versionen quasi gleich, oder?
Und dann sagt die eine Version, dass die Menge dann linear unabhängig ist und die andere sagt, dass sie linear abhängig ist...
2) Also ich habe irgendwie doch noch Probleme mit dem Prüfen der linearen Unabhängigkeit.
Es gibt ja den Satz, dass Vektoren [mm] x_1,...,x_n [/mm] dann l.u. sind, wenn aus [mm] a_1x_1,...,a_nx_n=0 [/mm] bereits [mm] a_1=...=a_n=0 [/mm] folgt.
In Version 1 erhalte ich zwar die 0 wenn ich in der Linearkombination aller Vektoren den ersten Koeffizienten gleich 1 setze und die anderen 0, weil ja [mm] x_1 [/mm] gleich 0 ist, aber ich erhalte die 0 doch auch, wenn ich alle Koeffizienten 0 setze.
Und wenn alle Koeffizienten 0 sind, dann ist es doch linear unabhängig.
Aber wenn ich jetzt den ersten Koeffizienten auf 1 setze, dann könnte ich die Linearkombination nach [mm] x_1 [/mm] umstellen, und würde [mm] x_1 [/mm] durch die anderen Vektoren [mm] x_2,...,x_n [/mm] ausdrücken, alle mit Koeffizient 0.
Und dann ist [mm] x_1 [/mm] ja linear abhängig.
Äh ja, ich blick grad schon wieder mal nicht durch.
Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine.
Also ich glaube mein Problem ist, dass wenn ich eine Linearkombination (laut diesem Satz) gleich 0 setze, dass die Gleichung dann doch immer erfüllt ist wenn alle Koeffizienten 0 sind, und dann hätte ich doch immer lineare Unabhängigkeit... ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Sa 10.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Also mir scheint du bist total durcheinander was das Thema lineare (Un-)Abhängigkeit betrifft.
> Beispiel 1
> [mm]n=1[/mm]
> Wann ist [mm]A=\{ x_1 \} \subset V[/mm] linear unabhängig?
> Da [mm]ax_1=0[/mm] nur dann, wenn [mm]a=0[/mm] oder [mm]x=0[/mm] ist, ist [mm]A=\{ x_1 \}[/mm]
> linear unabhängig genau dann, wenn [mm]x_1\not=0.[/mm]
> Insbesondere besitzt der Nullvektorraum [mm]\{ 0 \}[/mm] keinen
> linear unabhängigen Vektor.
>
> Fragen
> 1) Das "oder" ist doch ein einschließendes Oder, oder
> nicht? Ein Produkt kann ja auch dann 0 sein, wenn beide Faktoren
> 0 sind.
Richtig. Wenn ein Mathematiker "oder" sagt, dann heißt das immer, dass auch beides gelten kann.
> Warum darf [mm]x_1[/mm] dann nicht 0 sein?
Darf es doch!
> Das der Koeffizient a gleich 0 sein muss, ist klar, das
> sagt ja dieser Satz, dass Vektoren genau dann l.u. sind,
> wenn alle Koeffizienten 0 sind.
> 2) Heißt dass, einzelne, von Null verschiedene Vektoren
> sind immer linear unabhängig?
Es heißt, das jede einelementige Teilmenge von V, die nicht den Nullvektor enthält, linear unabhängig ist.
> (Zu wem sollten sie auch linear abhängig sein?)
> 3) Der Satz mit dem Nullvektorraum, ist das im Grunde
> sowas, wie ich grade in Frage 2) vermutet habe, dass ein
> Vektor alleine nicht linear abhängig sein kann (hier dann
> mit dem Nullvektor als einzelnem Vektor)?
Hä? Die Aussage ist, dass jede nichtleere Teilmenge von [mm] $V=\{0\}$ [/mm] linear abhängig ist.
> Beispiel 2
>
> Also ich hab hier zwei Beispiel, die meiner Meinung nach
> vom Ausgangspunkt identisch sind, und dann ein
> verschiedenes Ergebnis haben, und ich weiß nun nicht,
> welches stimmt.
>
> Ich schreib mal beide hin:
>
> 1) [mm]x_1,...,x_n \in V[/mm], [mm]x_1=0.[/mm] Dann sind [mm]x_1,...,x_n[/mm] nicht
> linear unabhängig, da [mm]1*x_1+0*x_2+...+0*x_n=0[/mm]
Richtig.
> 2) Sei [mm]A \subset V[/mm] und [mm]0 \in A[/mm]. Dann ist A linear
> unabhängig.
Du meinst wohl linear abhängig...
> Allgemein: A linear unabhängig, [mm]A' \subset A[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> A' linear unabhängig.
Das ist eine wahre Aussage, aber ich sehe nicht was das mit der vorigen zu tun haben soll.
> Fragen
> 1) Also wenn ich in Version 2) A gleich [mm]x_1,...,x_n[/mm] setze,
> dann sind doch die beiden Versionen quasi gleich, oder?
Richtig.
> Und dann sagt die eine Version, dass die Menge dann linear
> unabhängig ist und die andere sagt, dass sie linear
> abhängig ist...
Nein, Aussage 2) muss lauten "Sei [mm]A\subset V[/mm] und [mm]0\in A[/mm], dann ist A linear abhängig".
> 2) Also ich habe irgendwie doch noch Probleme mit dem
> Prüfen der linearen Unabhängigkeit.
> Es gibt ja den Satz, dass Vektoren [mm]x_1,...,x_n[/mm] dann l.u.
> sind, wenn aus [mm]a_1x_1,...,a_nx_n=0[/mm] bereits [mm]a_1=...=a_n=0[/mm]
> folgt.
Das ist die Definition von linearer Unabhängigkeit.
> In Version 1 erhalte ich zwar die 0 wenn ich in der
> Linearkombination aller Vektoren den ersten Koeffizienten
> gleich 1 setze und die anderen 0, weil ja [mm]x_1[/mm] gleich 0 ist,
> aber ich erhalte die 0 doch auch, wenn ich alle
> Koeffizienten 0 setze.
> Und wenn alle Koeffizienten 0 sind, dann ist es doch linear
> unabhängig.
> Aber wenn ich jetzt den ersten Koeffizienten auf 1 setze,
> dann könnte ich die Linearkombination nach [mm]x_1[/mm] umstellen,
> und würde [mm]x_1[/mm] durch die anderen Vektoren [mm]x_2,...,x_n[/mm]
> ausdrücken, alle mit Koeffizient 0.
> Und dann ist [mm]x_1[/mm] ja linear abhängig.
Also spätestens hier ist klar dass du lineare Unabhängigkeit überhaupt nicht richtig verstanden hast. Nochmal: Die Vektoren [mm] $x_1,..,x_n\in [/mm] V$ heißen linear unabhängig, wenn gilt [mm] $$a_1x_1+...+a_nx_n=0\Rightarrow a_1=a_2=...=a_n=0$$ [/mm] Natürlich ist [mm] $0\cdot x_1+...+0\cdot x_n$ [/mm] immer gleich 0, aber wenn diese Vektoren linear unabhängig sind, dann heißt das, dass dies die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der [mm] x_i [/mm] ist. Wenn wie in deinem Beispiel [mm] x_1=0 [/mm] ist, dann kann ich aus der Tatsache, dass [mm] $a_1x_1+...+a_nx_n=0$ [/mm] ist für gewisse [mm] $a_i\in\IR$ [/mm] eben nicht schlussfolgern, dass alle [mm] a_i=0 [/mm] sind, denn es kann ja wie du schon bemerkt hast auch [mm] a_1=1 [/mm] sein und der Rest 0. Also wäre dieses System nicht linear unabhängig (also linear abhängig).
Nochwas: man sagt nicht "ein Vektor ist linear abhängig von den anderen". Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft, die eine Menge von Vektoren (als Ganzes!) hat, oder eben nicht hat.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Sa 10.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Robert
> > 2) Sei [mm]A \subset V[/mm] und [mm]0 \in A[/mm]. Dann ist A linear
> > unabhängig.
>
> Du meinst wohl linear abhängig...
>
> > Allgemein: A linear unabhängig, [mm]A' \subset A[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] A' linear unabhängig.
>
> Das ist eine wahre Aussage, aber ich sehe nicht was das
> mit der vorigen zu tun haben soll.
Das davor ist ein Spezialfall der Kontraposition hiervon: die Kontraposition lautet "Ist $A$ linear abhaengig und $A [mm] \subseteq [/mm] A'$, so ist $A'$ ebenfalls linear abhaengig."
Und das [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] linear abhaengig ist steht ja weiter oben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Robert!
> Also mir scheint du bist total durcheinander was das Thema
> lineare (Un-)Abhängigkeit betrifft.
Ja, könnte man so sagen... Mal hab ich den Eindruck, ich habs verstanden, und dann kommt irgendeine Aussage, und alles ist dahin...
> > Fragen
> > 1) Das "oder" ist doch ein einschließendes Oder, oder
> > nicht? Ein Produkt kann ja auch dann 0 sein, wenn beide
> > Faktoren
> > 0 sind.
> Richtig. Wenn ein Mathematiker "oder" sagt, dann heißt
> das immer, dass auch beides gelten kann.
> > Warum darf [mm]x_1[/mm] dann nicht 0 sein?
> Darf es doch!
Hmm, aber dann ich verstehe ich nicht, warum die einelementige Menge [mm] $\{ x_1 \}$ [/mm] nur dann l.u. ist, wenn [mm] x_1\not=0 [/mm] ?
> > 2) Heißt dass, einzelne, von Null verschiedene Vektoren
> > sind immer linear unabhängig?
> Es heißt, das jede einelementige Teilmenge von V, die
> nicht den Nullvektor enthält, linear unabhängig ist.
Hmm, ok.
> > 3) Der Satz mit dem Nullvektorraum, ist das im Grunde
> > sowas, wie ich grade in Frage 2) vermutet habe, dass ein
> > Vektor alleine nicht linear abhängig sein kann (hier dann
> > mit dem Nullvektor als einzelnem Vektor)?
> Hä? Die Aussage ist, dass jede nichtleere Teilmenge von
> [mm]V=\{0\}[/mm] linear abhängig ist.
Oh, dann hab ich das falsch verstanden.
Aber woraus liest du das mit der nichtleeren Teilmenge?
Nach wiederholtem Lesen hab ich es jetzt so gelesen, das der Nullvektorraum keinen linear unabhängigegn Vektor besitzt, und da der Nullvektorraum nur den Nullvektor besitzt, ist dieser linear abhängig.
(Ich weiß, du hast unten geschrieben, dass ein Vektor nicht l.a. oder l.u. sein kann, ich seh da aber grad noch nicht so ganz durch...)
> > Beispiel 2
> >
> > Also ich hab hier zwei Beispiel, die meiner Meinung nach
> > vom Ausgangspunkt identisch sind, und dann ein
> > verschiedenes Ergebnis haben, und ich weiß nun nicht,
> > welches stimmt.
> >
> > Ich schreib mal beide hin:
> >
> > 1) [mm]x_1,...,x_n \in V[/mm], [mm]x_1=0.[/mm] Dann sind [mm]x_1,...,x_n[/mm] nicht
> > linear unabhängig, da [mm]1*x_1+0*x_2+...+0*x_n=0[/mm]
> > Richtig.
> > 2) Sei [mm]A \subset V[/mm] und [mm]0 \in A[/mm]. Dann ist A linear
> > unabhängig.
> Du meinst wohl linear abhängig...
Ich war nicht sicher, es steht so in meiner Vorlesungsmitschrift.
> > Allgemein: A linear unabhängig, [mm]A' \subset A[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > A' linear unabhängig.
> Das ist eine wahre Aussage, aber ich sehe nicht was das
> mit der vorigen zu tun haben soll.
Ich auch nicht...
> Also spätestens hier ist klar dass du lineare
> Unabhängigkeit überhaupt nicht richtig verstanden hast.
> Nochmal: Die Vektoren [mm]$x_1,..,x_n\in[/mm] V$ heißen linear
> unabhängig, wenn gilt [mm]a_1x_1+...+a_nx_n=0\Rightarrow a_1=a_2=...=a_n=0[/mm]
> Natürlich ist [mm]$0\cdot x_1+...+0\cdot x_n$[/mm] immer gleich 0,
> aber wenn diese Vektoren linear unabhängig sind, dann
> heißt das, dass dies die einzige Darstellung des
> Nullvektors als Linearkombination der [mm]x_i[/mm] ist. Wenn wie in
> deinem Beispiel [mm]x_1=0[/mm] ist, dann kann ich aus der Tatsache,
> dass [mm]$a_1x_1+...+a_nx_n=0$[/mm] ist für gewisse [mm]$a_i\in\IR$[/mm]
> eben nicht schlussfolgern, dass alle [mm]a_i=0[/mm] sind, denn es
> kann ja wie du schon bemerkt hast auch [mm]a_1=1[/mm] sein und der
> Rest 0. Also wäre dieses System nicht linear unabhängig
> (also linear abhängig).
Also heißt dass, dass wenn alle Koeffizienten auf 0 zu setzen, die einzige Möglichkeit ist, die 0 als Ergebnis der Linearkombination zu erhalten, dann sind die Vektoren linear unabhängig?
Und wenn ich noch auf andere Weise die 0 kriege (wie in dem Beispiel, den Koeffizienten des Nullvektors auf 1 und alle anderen auf 0), dann ist es nicht mehr linear unabhängig?
> Nochwas: man sagt nicht "ein Vektor ist linear abhängig
> von den anderen". Lineare Abhängigkeit bzw.
> Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft, die eine Menge von
> Vektoren (als Ganzes!) hat, oder eben nicht hat.
Oh, ok.
Wir haben es so gelernt, wir haben folgende Dinge definiert:
1) Ein Vektor $x [mm] \in [/mm] V$ heißt linear abhängig von [mm] $x_1,...,x_n \in [/mm] V$, wenn ...
2) ... sonst heißt x linear unabhängig von [mm] x_1,...,x_n
[/mm]
3) Vektoren [mm] x_1,...,x_n [/mm] heißen linear unabhängig, wenn ...
Folgendes war bei uns nur ein kleiner Satz am Rande:
4) Vektoren [mm] $x_1,...,x_n \in [/mm] V$ sind l.u. genau dann, wenn für [mm] $a_1,...,a_n \in [/mm] K$ aus [mm] a_1x_1+...+a_nx_n [/mm] bereits [mm] a_1=...=a_n=0 [/mm] folgt.
Und daraus konnte ich irgendwie nicht ablesen, dass dass die Vektoren nur dann l.u. sind, wenn [mm] a_1=...=a_n=0 [/mm] die einzige Möglichkeit ist, den Nullvektor zu bilden (wenn meine Vermutung diesbezüglich denn stimmt).
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 So 11.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sie wesentliche definition ist linear unabhengig
[mm] {x1,..x_n} [/mm] lin. unabh
wenn [mm] gilt:a_1x_!+.......a_nx_n=0 [/mm] NUR wenn alle [mm] a_i=0.
[/mm]
abhaengig wenn nicht unabhaengig, also wenn es wenigstens ein [mm] a_i\ne0 [/mm] gibt.
Nur so solltest du dir lin abh. und unabh. vorstellen!
(oft schreiben studis das um in man kann einen keinen der vektoren [mm] x_i [/mm] durch andere linearkombinieren.
da stimmt immer, wenn man mehr als einen hat.
aber wenn V={x1} dann weisst du falls [mm] x_1\ne0 [/mm] ist [mm] ax_1=0 [/mm] nur wenn a=0
wenn V={0} gilt a*0=0 auch fuer [mm] a\ne0 [/mm] also ist 0 lin abh.
Du musst dich einfach stur an die Definition halten.
Dass du 4 Def. von lin abh und unabh hast ist schlecht.
Nur die eine oben ist die richtige, lin abh ist einfach nicht lin unabh.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 11.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart!
Danke für deine Antwort.
Also merke ich mir:
n Vektoren [mm] x_1,...,x_n [/mm] sind linear abhängig, wenn die Gleichung [mm] a_1x_1+...+a_nx_n=0 [/mm] nur für [mm] a_1=...=a_n=0 [/mm] erfüllt ist?
> (oft schreiben studis das um in man kann einen keinen der
> vektoren [mm]x_i[/mm] durch andere linearkombinieren.
> da stimmt immer, wenn man mehr als einen hat.
Hmm, na gut, unser Prof hatte diese Aussage auch für nur einen Vektor genommen...
"Beispiel 1: Wann ist [mm] $x_1 \in [/mm] V$ linear unabhängig?"
> aber wenn V={x1} dann weisst du falls [mm]x_1\ne0[/mm] ist [mm]ax_1=0[/mm]
> nur wenn a=0
Hmm, ja so verstehe ich das denke ich.
Aber bei uns steht es halt so komisch, dass aus [mm] a_1x_1=0 [/mm] schon [mm] a_1=0 [/mm] folgt [mm] \Leftrightarrow x_1\not=0 [/mm]
Das verstehe ich nicht, dass [mm] x_1\not=0 [/mm] äquivalent ist zu [mm] a_1=0 [/mm] , also diese Folgerungreihenfolge.
Ich mein, nur weil [mm] a_1=0 [/mm] weiß ich doch noch lange nicht, wie [mm] x_1 [/mm] aussieht, dass könnte doch auch 0 sein und dann wäre das Produkt [mm] a_1x_1 [/mm] immer noch 0
Wenn da zuerst stehen würde [mm] x_1\not=0, [/mm] dann kann [mm] x_1 [/mm] nur l.u. sein, wenn [mm] a_1=0 [/mm] , so wäre es mir klar, aber so wie es bei uns steht, versteh ichs einfach nicht...
LG, Nadine
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> Also merke ich mir:
>
> n Vektoren [mm]x_1,...,x_n[/mm] sind linear abhängig, wenn die
> Gleichung [mm]a_1x_1+...+a_nx_n=0[/mm] nur für [mm]a_1=...=a_n=0[/mm]
> erfüllt ist?
Hallo,
neiiiiiiiin! Merk Dir das bloß nicht!
Merke Dir:
n Vektoren [mm]x_1,...,x_n[/mm] sind linear unabhängig, wenn die Gleichung [mm]a_1x_1+...+a_nx_n=0[/mm] nur für [mm]a_1=...=a_n=0[/mm] erfüllt ist.
Hmm, na gut, unser Prof hatte diese Aussage auch für nur
> einen Vektor genommen...
>
> "Beispiel 1: Wann ist [mm]x_1 \in V[/mm] linear unabhängig?"
Antwort:
wenn aus [mm] ax_1=0 [/mm] folgt, daß a=0 ist.
Und dies ist der Fall, wenn [mm] x_1\not=0.
[/mm]
>
> Aber bei uns steht es halt so komisch, dass aus [mm]a_1x_1=0[/mm]
> schon [mm]a_1=0[/mm] folgt [mm]\Leftrightarrow x_1\not=0[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht, dass [mm]x_1\not=0[/mm] äquivalent ist zu
> [mm]a_1=0[/mm] , also diese Folgerungreihenfolge.
???
Wie gesagt, die gestellte Frage ist, unter welchen Umständen aus [mm] ax_1=0 [/mm] folgt, daß a=0 ist.
Wenn nun [mm] x_1=0 [/mm] ist, folgt das offensichtlich nicht, denn die Gleichung funktioniert ja auch für a=1, a=2, a=-4711.
>
> Ich mein, nur weil [mm]a_1=0[/mm] weiß ich doch noch lange nicht,
> wie [mm]x_1[/mm] aussieht,
Nein, aber wenn [mm] ax_1=0 [/mm] gilt und [mm] x_1\not=0 [/mm] ist, dann kann die Gleichung nicht anders gelten als mit a=0.
Also ist [mm] \{x_1\} [/mm] für [mm] x_1\not=0 [/mm] linear unabhängig und für [mm] x_1=0 [/mm] linear abhängig.
> dass könnte doch auch 0 sein und dann
> wäre das Produkt [mm]a_1x_1[/mm] immer noch 0
>
> Wenn da zuerst stehen würde [mm]x_1\not=0,[/mm] dann kann [mm]x_1[/mm] nur
> l.u. sein, wenn [mm]a_1=0[/mm] , so wäre es mir klar, aber so wie
> es bei uns steht, versteh ichs einfach nicht...
Wenn Du's so verstehst, wie es hier steht, ist's doch gut.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 11.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort!
> Hallo,
>
> neiiiiiiiin! Merk Dir das bloß nicht!
>
> Merke Dir:
>
> n Vektoren [mm]x_1,...,x_n[/mm] sind linear unabhängig, wenn die
> Gleichung [mm]a_1x_1+...+a_nx_n=0[/mm] nur für [mm]a_1=...=a_n=0[/mm]
> erfüllt ist.
Oh, ja, das habe ich auch gemeint, ich hab mich verschrieben 
> Antwort:
>
> wenn aus [mm]ax_1=0[/mm] folgt, daß a=0 ist.
> Und dies ist der Fall, wenn [mm]x_1\not=0.[/mm]
Ok
> Wie gesagt, die gestellte Frage ist, unter welchen
> Umständen aus [mm]ax_1=0[/mm] folgt, daß a=0 ist.
> Wenn nun [mm]x_1=0[/mm] ist, folgt das offensichtlich nicht, denn
> die Gleichung funktioniert ja auch für a=1, a=2, a=-4711.
Ah, ja, jetzt hab ichs denke ich verstanden
Und wenn ich [mm] x_1=0 [/mm] habe, dann bekomme ich den Nullvektor als Ergebnis der Linearkombination nicht nur für die triviale Lösung $a=0$ sondern für alle Werte a, und damit ist [mm] $\{ x_1 \}=\{ 0 \}$ [/mm] nicht linear unabhängig und damit linear abhängig.
Stimmt das so?
> Nein, aber wenn [mm]ax_1=0[/mm] gilt und [mm]x_1\not=0[/mm] ist, dann kann
> die Gleichung nicht anders gelten als mit a=0.
>
> Also ist [mm]\{x_1\}[/mm] für [mm]x_1\not=0[/mm] linear unabhängig und für
> [mm]x_1=0[/mm] linear abhängig.
Ok
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 So 11.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Jetzt stimmt es.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 So 11.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Danke für eure Hilfe
LG Nadine
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