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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Lineare Unabhängigkeit
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Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Di 09.02.2010
Autor: notinX

Aufgabe
Seien K ein Körper, V ein K-VR und [mm] $\{v_1\dots v_n\}\subset [/mm] V$ linear unabhängig. Zeigen Sie, dass
[mm] $\{v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},\dots,v_{n-1}+v_{n},v_{n}\}$ [/mm]
l.u. ist

Da [mm] $\{v_1,\dots,v_n\}$ [/mm] linear unabhängig sind, gilt:
[mm] $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\dots+\lambda_{n}v_{n}=0\Rightarrow\lambda_{i}=0\quad\forall i\in\{1,\dots,n\}$ [/mm]


[mm] $\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow\underbrace{\lambda_{1}}_{=0}v_{1}+\lambda_{1}v_{2}+\underbrace{\lambda_{2}}_{=0}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\underbrace{\lambda_{n-1}}_{=0}v_{n-1}+\lambda_{n-1}v_{n}+\underbrace{\lambda_{n}}_{=0}v_{n}=0$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow\lambda_{1}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\lambda_{n-1}v_{n}=0$ [/mm]
weil $ [mm] \{v_2,\dots,v_n\} [/mm] $ linear unabhängig sind müssen auch hier alle Koeffizienten =0 sein, also [mm] $\lambda_1=\dots=\lambda_{n-1}=0$ [/mm]

stimmt das?

        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Di 09.02.2010
Autor: angela.h.b.


> Seien K ein Körper, V ein K-VR und [mm]\{v_1\dots v_n\}\subset V[/mm]
> linear unabhängig. Zeigen Sie, dass
> [mm]\{v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},\dots,v_{n-1}+v_{n},v_{n}\}[/mm]
>  l.u. ist
>  Da [mm]\{v_1,\dots,v_n\}[/mm] linear unabhängig sind, gilt:
>  
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\dots+\lambda_{n}v_{n}=0\Rightarrow\lambda_{i}=0\quad\forall i\in\{1,\dots,n\}[/mm]

Hallo,

soweit richtig.


>  
>

Sei nun

> [mm]\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow\underbrace{\lambda_{1}}_{=0}v_{1}+\lambda_{1}v_{2}+\underbrace{\lambda_{2}}_{=0}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\underbrace{\lambda_{n-1}}_{=0}v_{n-1}+\lambda_{n-1}v_{n}+\underbrace{\lambda_{n}}_{=0}v_{n}=0[/mm]
>  

Die Klammern, die andeuten, daß die [mm] \lambda_i [/mm] =0 sein müssen, stimmen so nicht,
denn es steht ja in Deiner Gleichung

> > [mm]\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]

nirgendwo, daß [mm] \summe\lambda_iv_i=0 [/mm] sein soll. da hast Du Dir nur gewünscht...

Du mußt das anders machen. Sortiere Deine Gleichung so:

[mm] (...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n=0 [/mm]

==> ???

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Di 09.02.2010
Autor: notinX


> [mm]\Rightarrow\underbrace{\lambda_{1}}_{=0}v_{1}+\lambda_{1}v_{2}+\underbrace{\lambda_{2}}_{=0}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\underbrace{\lambda_{n-1}}_{=0}v_{n-1}+\lambda_{n-1}v_{n}+\underbrace{\lambda_{n}}_{=0}v_{n}=0[/mm]
>  >  
>
> Die Klammern, die andeuten, daß die [mm]\lambda_i[/mm] =0 sein
> müssen, stimmen so nicht,
>  denn es steht ja in Deiner Gleichung
> > >
> [mm]\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
>  nirgendwo, daß [mm]\summe\lambda_iv_i=0[/mm] sein soll. da hast Du
> Dir nur gewünscht...

aber das steht doch in der Voraussetzung, denn die Vektoren sind ja linear unabhängig, oder?

>  
> Du mußt das anders machen. Sortiere Deine Gleichung so:
>  
> [mm](...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n=0[/mm]
>  
> ==> ???

[mm] $\lambda_{1}v_{1}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})v_{2}+(\lambda_{2}+\lambda_{3})v_{3}+\dots+(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})v_{n}+\lambda_{n}v_{n}=0$ [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da $ [mm] \{v_1,\dots,v_n\} [/mm] $ l.u. sind folgt:
[mm] $\lambda_{1}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})=(\lambda_{2}+\lambda_{3})=\dots=(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})=\lambda_{n}=0$ [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Di 09.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo [mm] $\notin [/mm] X$,

> >
> [mm]\Rightarrow\underbrace{\lambda_{1}}_{=0}v_{1}+\lambda_{1}v_{2}+\underbrace{\lambda_{2}}_{=0}v_{2}+\lambda_{2}v_{3}+\dots+\underbrace{\lambda_{n-1}}_{=0}v_{n-1}+\lambda_{n-1}v_{n}+\underbrace{\lambda_{n}}_{=0}v_{n}=0[/mm]
>  >  >  
> >
> > Die Klammern, die andeuten, daß die [mm]\lambda_i[/mm] =0 sein
> > müssen, stimmen so nicht,
>  >  denn es steht ja in Deiner Gleichung
> > > >
> >
> [mm]\lambda_{1}(v_{1}+v_{2})+\lambda_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\lambda_{n-1}(v_{n-1}+v_{n})+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
>  >  nirgendwo, daß [mm]\summe\lambda_iv_i=0[/mm] sein soll. da hast
> Du
> > Dir nur gewünscht...
>  aber das steht doch in der Voraussetzung, denn die
> Vektoren sind ja linear unabhängig, oder?

Ja, die LK der [mm] $v_i$ [/mm] des Nullvektors liefert für alle Koeffizienten $=0$

Aber die LK irgendeiner Summe der [mm] $v_i$ [/mm] noch lange nicht.

>  
> >  

> > Du mußt das anders machen. Sortiere Deine Gleichung so:
>  >  
> > [mm](...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n=0[/mm]
>  >  
> > ==> ???
>  
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})v_{2}+(\lambda_{2}+\lambda_{3})v_{3}+\dots+(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})v_{n}\red{+\lambda_{n}v_{n}}=0[/mm] [ok]

Der letzte Summand ist zuviel

>  [mm]\Rightarrow[/mm] da [mm]\{v_1,\dots,v_n\}[/mm] l.u. sind folgt:
>  
> [mm]\lambda_{1}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})=(\lambda_{2}+\lambda_{3})=\dots=(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})=\red{\lambda_{n}}=0[/mm] [ok]

Das rote Ding ist wieder zuviel ...

> ?


Ganz recht!

Was ist also die Quintessenz?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Di 09.02.2010
Autor: notinX


> [mm]\lambda_{1}v_{1}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})v_{2}+(\lambda_{2}+\lambda_{3})v_{3}+\dots+(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})v_{n}\red{+\lambda_{n}v_{n}}=0[/mm]
> [ok]
>  
> Der letzte Summand ist zuviel
>
> >
> [mm]\lambda_{1}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})=(\lambda_{2}+\lambda_{3})=\dots=(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})=\red{\lambda_{n}}=0[/mm]
> [ok]
>  
> Das rote Ding ist wieder zuviel ...

Ja ich wollte es gerade korrigieren, aber Du hast zu schnell geantwortet ;-)

>  
> > ?
>
>
> Ganz recht!
>  
> Was ist also die Quintessenz?
>  

Äh die Quintessenz? Na ja man sortiert um, um wieder eine LK der Form [mm] $\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_nv_n=0$ [/mm] zu bekommen um dann festzustellen, dass dann nach Voraussetzung alle [mm] \alpha_i=0 [/mm] sind
oder was meintest Du mit Quintessenz?

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Di 09.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> >
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})v_{2}+(\lambda_{2}+\lambda_{3})v_{3}+\dots+(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})v_{n}\red{+\lambda_{n}v_{n}}=0[/mm]
> > [ok]
>  >  
> > Der letzte Summand ist zuviel
>  >

> > >
> >
> [mm]\lambda_{1}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})=(\lambda_{2}+\lambda_{3})=\dots=(\lambda_{n-1}+\lambda_{n})=\red{\lambda_{n}}=0[/mm]
> > [ok]
>  >  
> > Das rote Ding ist wieder zuviel ...
>  Ja ich wollte es gerade korrigieren, aber Du hast zu
> schnell geantwortet ;-)

ok!

>  
> >  

> > > ?
> >
> >
> > Ganz recht!
>  >  
> > Was ist also die Quintessenz?
>  >  
> Äh die Quintessenz? Na ja man sortiert um, um wieder eine
> LK der Form [mm]\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_nv_n=0[/mm] zu
> bekommen um dann festzustellen, dass dann nach
> Voraussetzung alle [mm]\alpha_i=0[/mm] sind
>  oder was meintest Du mit Quintessenz?

Nun, mit der obigen Kette [mm] $\lambda_1=(\lambda_1+\lambda_2)=...=(\lambda_{n-1}+\lambda_n)=0$ [/mm] ergibt sich [mm] $\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0$ [/mm]

Mithin sind alle Koeffizienten in der LK der Summe da =0, also ist die Vektormenge mit den Summen da linear unabh.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 Di 09.02.2010
Autor: notinX

Achso...
Ich danke euch.

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