Lineare Unabhängigkeit im R3 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sind die Vektoren a,b und c aus dem R3 linear abhängig oder linear unabhängig?
Drücken Sie gegebenfalls einen Vektor durch die übrigen aus.
a=(1,2,3)
b=(2,1,1)
c=(−2,2,4) |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Lineare-Unabhaengigkeit-im-R3
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=525309
Meine Frage:
Hallo,
ich fruste nun seit Längerem hier vor mich hin.
Die Aufgabe lautet:
Sind die Vektoren a,b und c aus dem R3 linear abhängig oder linear unabhängig?
Drücken Sie gegebenfalls einen Vektor durch die übrigen aus.
a=(1,2,3)
b=(2,1,1)
c=(−2,2,4)
Ich mache nun Folgendes:
k1+2k2−2k3=0
2k1+k2+2k3=0
3k1+k2+4k3=0
Soweit komme ich noch.
Ich ralle nur nicht wie das Gleichungssystem aufgelöst wird.
In der Lösung steht (unter anderem) nun:
Aus k1a+k2b+k3c=0 folgt k2=−k1,k3=−12k1 und k1ER beliebig wählbar.
Und da hapert's bei mir. Wie kommt man darauf?
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> k1+2k2−2k3=0
> 2k1+k2+2k3=0
> 3k1+k2+4k3=0
>
> Soweit komme ich noch.
> Ich ralle nur nicht wie das Gleichungssystem aufgelöst
> wird.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Ich gehe davon aus, daß das Gaußverfahren, bei dem die Matrix zunächst durch Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform gebracht wird, längst dran war.
Koeffizientenmatrix:
[mm] \pmat{1&2&-2\\2&1&2\\3&1&4}
[/mm]
Eine ZSF:
[mm] \pmat{\red{1}&2&-2\\0&\red{1}&-2\\0&0&0}
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 2.
Also kann die dritte Variable frei gewählt werden.
Mit
[mm] k_3=t \qquad t\in \IR
[/mm]
bekommt man aus der 2. Zeile
[mm] k_2-2k_3=0 [/mm] <==>
[mm] k_2=2t,
[/mm]
und aus der 1.Zeile
[mm] k_1+2k_2-2k_3=0 [/mm] <==>
[mm] k_1=-2k_2+2k_3=-2t.
[/mm]
Für jede Wahl von t ist also
-2t*a+2tb+t*c=0,
dh. es gibt eine von der trivialen Lösung verschiedene Lösung der Gleichung
$k_1a+k_2b+k_3c=0,$
etwa -2a+2b+c=0,
und wenn Du das weißt, kannst Du leicht einen Vektor durch die anderen beiden ausdrücken.
>
> In der Lösung steht (unter anderem) nun:
>
> Aus k1a+k2b+k3c=0 folgt k2=−k1,k3=−12k1 und k1ER
> beliebig wählbar.
Deine Chefs haben [mm] k_1 [/mm] frei gewählt, das geht auch.
Wenn Du mit den Gaußverfahren arbeiest, rate ich Dir aber, esimmer so zu machen, daß die freien Variablen die sind, in deren Spalte kein führendes Zeilenelement steht. So bekommt man eine Systematik rein, und kann fast nichts mehr falsch machen. [mm] (k_3=-12k_1 [/mm] stimmt aber nicht. Das soll wohl eher [mm] k_3=1/2k_1 [/mm] heißen.)
LG Angela
>
> Und da hapert's bei mir. Wie kommt man darauf?
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Ich komme zu der Matrix:
1 2 -2
0 1 -2
0 0 2
Ist ja fast wie deine.
In der letzten Spalte steht ja 0k1 + 0k2 + 2k3 = 0.
Hast du in deiner Matrix deshalb 2k3 durch 0 ersetzt? Und was heißt das? Dass k3 frei wählbar ist?
Vielen lieben Dank schonmal für die ausführliche Antwort.
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Hallo Ultramann,
> Ich komme zu der Matrix:
>
> 1 2 -2
> 0 1 -2
> 0 0 2
>
Die stimmt nicht mit der meiner Vorrednerin überein.
>
> Ist ja fast wie deine.
> In der letzten Spalte steht ja 0k1 + 0k2 + 2k3 = 0.
>
> Hast du in deiner Matrix deshalb 2k3 durch 0 ersetzt? Und
> was heißt das? Dass k3 frei wählbar ist?
>
Nein, [mm]2k_{3}[/mm] hat sie nicht durch 0 ersetzt.
Die letzte Zeile ist, nachdem die Matrix auf ZSF gebracht wurde,
eine Nullzeile.
Da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, ist z.B. [mm]k_{3}[/mm] frei wählbar.
> Vielen lieben Dank schonmal für die ausführliche Antwort.
Gruss
MathePower
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> Ich komme zu der Matrix:
>
> 1 2 -2
> 0 1 -2
> 0 0 2
Hallo,
Du hast Dich verrechnet.
Wenn(!!!) Deine richtig wäre, wären die Vektoren linear unabhängig, denn [mm] k_1=k_2=k_3=0 [/mm] wäre die einzige Lösung von k_1a+k_2b+k_3c=0.
LG Angela
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Ok, vielen lieben Dank nochmal. Ich komme jetzt ebenfalls zu deiner Matrix.
Eine Sache wäre da aber noch
Die vorletzte Matrix, also bevor die untere Zeile zu 0 0 0 wird, ist bei mir Folgende:
1 2 -2
0 -3 6
0 -5 10
Ich muss ja die -5 eliminieren, das mache ich ja in dem ich von Zeile 3 das 5/3-fache von Zeile 2 subtrahiere. So verschwindet ja dann auch die 10.
Ich kann aber auch das 5/2-fache von Zeile 1 zu Zeile 3 addieren, die -5 verschwindet, ich habe die Stufenform, ABER k3 ist dann gleich 5.
Das verstehe ich nicht. Habe ich da trotz mehrmaligem Ausrechnen einen Rechenfehler?
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Hallo,
> Eine Sache wäre da aber noch
>
>
> Die vorletzte Matrix, also bevor die untere Zeile zu 0 0 0
> wird, ist bei mir Folgende:
>
> 1 2 -2
> 0 -3 6
> 0 -5 10
>
>
> Ich muss ja die -5 eliminieren, das mache ich ja in dem ich
> von Zeile 3 das 5/3-fache von Zeile 2 subtrahiere. So
> verschwindet ja dann auch die 10.
Etwas bequemer finde ich es ja, wenn man erstmal Zeile 2 durch 3 teilt und Zeile 3 durch 5...
Ist aber egal.
>
>
> Ich kann aber auch das 5/2-fache von Zeile 1
zu Zeile 3
> addieren, die -5 verschwindet, ich habe die Stufenform,
Nein.
Wenn Du das tust, hast Du [mm] \pmat{1&2&-2\\0&-3&6\\2.5&0&5}, [/mm] und das ist keine ZSF.
> ABER k3 ist dann gleich 5.
Nein.
>
> Das verstehe ich nicht. Habe ich da trotz mehrmaligem
> Ausrechnen einen Rechenfehler?
Das kommt mir so vor.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Di 09.07.2013 | | Autor: | Ultramann |
Ach verdammt.
Blöd! Blöd! Blöd!
Habe zu k1 aus der 3. Zeile das k1 der 1. Zeile nicht addiert.
Ich bin aber auch nicht die hellste Kerze auf der Torte.
Vielen lieben Dank. Hab's jetzt.
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> Ach verdammt.
> Blöd! Blöd! Blöd!
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> Habe zu k1 aus der 3. Zeile das k1 der 1. Zeile nicht
> addiert.
Das ist wohl jedem schonmal passiert.
> Ich bin aber auch nicht die hellste Kerze auf der Torte.
Wenigstens blendet es dann nicht so sehr.
LG Angela
>
> Vielen lieben Dank. Hab's jetzt.
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