Lineare Unabhängigkeit über Q < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] Elemente des Vektorraums V über [mm] \IQ; [/mm] zeige: [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] ist genau dann linear unabhängig wenn [mm] \{v_1+v_2,v_1+v_3,v_2+v_3\} [/mm] linear unabhängig ist. |
Meine Frage lautet ob diese Behauptung für jeden beliebigen Körper gilt oder nur in [mm] \IQ [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Niemand eine Idee?
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:55 Fr 03.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] Elemente des Vektorraums V über [mm]\IQ;[/mm]
> zeige: [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] ist genau dann linear unabhängig
> wenn [mm]\{v_1+v_2,v_1+v_3,v_2+v_3\}[/mm] linear unabhängig ist.
> Meine Frage lautet ob diese Behauptung für jeden
> beliebigen Körper gilt oder nur in [mm]\IQ[/mm] ?
Ja, es gilt ueber jedem Koerper. Die Determinante der Transformationsmatrix [mm] $\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }$ [/mm] ist mit -1 immer ungleich 0.
LG Felix
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:02 Fr 03.06.2011 | | Autor: | SEcki |
> Ja, es gilt ueber jedem Koerper. Die Determinante der
> Transformationsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 }[/mm]
> ist mit -1 immer ungleich 0.
Das würde ich ja wegen [m](v_1+v_2)+(v_2+v_3)=v_1+2v_2+v_3[/m] noch einmal nachrechnen ... (über Charakteristik 2 sind die 3 rechten immer linear abhängig, egal ob die linke Seite lin. unah. ist oder nicht).
SEcki
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:20 Fr 03.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ja, es gilt ueber jedem Koerper. Die Determinante der
> > Transformationsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 }[/mm]
> > ist mit -1 immer ungleich 0.
>
> Das würde ich ja wegen [m](v_1+v_2)+(v_2+v_3)=v_1+2v_2+v_3[/m]
> noch einmal nachrechnen ... (über Charakteristik 2 sind
> die 3 rechten immer linear abhängig, egal ob die linke
> Seite lin. unah. ist oder nicht).
stimmt, die Determinante ist -2 und nicht -1... Nullen und Einsen miteinander multiplizieren ist gar nicht so einfach 
Also: die Aussage stimmt in allen Koerpern, in denen $-2 [mm] \neq [/mm] 0$ ist (oder anders gesagt: in denen $0 [mm] \neq [/mm] 2$ ist). Also immer ausser in Charakteristik 2.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Vielen Dank, hat mir sehr geholfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] Elemente des Vektorraums V über [mm]\IQ;[/mm]
> zeige: [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] ist genau dann linear unabhängig
> wenn [mm]\{v_1+v_2,v_1+v_3,v_2+v_3\}[/mm] linear unabhängig ist.
> Meine Frage lautet ob diese Behauptung für jeden
> beliebigen Körper gilt oder nur in [mm]\IQ[/mm] ?
solltest Du selbst anhand des Beweises beurteilen können, sobald Du ihn erbracht hast. (Analyse der beiden Beweisrichtungen, ob an irgendeiner Stelle spezielle Eigenschaften von [mm] $\IQ$ [/mm] benötigt werden.)
Gruß,
Marcel
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