Lineare Unabhängikeit von Vekt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 So 21.11.2004 | | Autor: | Jani |
Hallo! Hab eine ganz simple Frage eigentlich:
wenn jemand sagt 2 Vektoren sind linear unabhängig voneinander, heisst das die sind dann kollinear oder nicht kollinear? (versteh also den Begriff nicht so ganz)
und wenn ich drei vektoren (mit je drei komponenten) habe, wie kann ich da am besten und vor allem am schnellsten nachschauen, ob sie linear unabhängig sind?
Danke !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also soweit ich mich erinnern kann, sind 2 Vektoren genau dann linear abhängig, wenn sie parallel liegen.
Wenn dies der Fall ist, dann sind sie kollinear. 2 linear abhängige Vektoren sind also kollinear. Wenn sie linear unabhängig sind, müssen sie dann nicht kollinear genannt werden.
Drei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen.
Bei Vektoren im R³ kann man auf lineare Abhängigkeit untersuchen, indem man die Determinante bestimmt.
Das funktioniert folgendermaßen:
Wir nehmen z.b. die drei Vektoren
r1 = (-1, -1, 2); r2 = (-1, 2, -1) und r3 = (2, -3, 2)
und schreiben sie in eine Art Matrix.
Die Determinante bestimmt sich nun..
[mm] \vmat{ -1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2} \vmat{ -1 & -1 \\ -1 & 2 \\ 2 & -3 }
[/mm]
Der zweite Kasten beinhaltet zur Hilfestellung nur die ersten beiden Spalten der eigentlichen Matrix.
Jetzt musst du die Produkte der Hauptdiagonalen miteinander addieren.
Die Hauptdiagonalen sind die von links oben nach rechts unten.
Das Ergebnis ist (-1)*2*2 + (-1)*(-1)*2 + 2*(-1)*(-3) = -4 +2 + 6 = 4
Davon muss dann die Summe der Produkte der Nebendiagonalen abgezogen werden.
Die Nebendiagonalen sind die von rechts oben nach links unten (angefangen bei der Zahl rechts oben im 2. "Hilfskasten")
Die Summe der Nebendiagonalen lautet also:
(-1)*(-1)*2 + (-1)*(-1)*(-3) + 2*2*2 = 2 - 3 + 8 = 7
Die Summe der Hauptdiagonalen minus der Summe der Nebendiagonalen beträgt also 4 - 7 = -3
Da -3 ungleich 0 ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Linear abhängig sind sie nur, wenn das Ergebnis 0 ist.
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