Lineare Ungleichungen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Do 28.10.2004 | | Autor: | cremchen |
Halli Hallo!
Ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, bei der ich mich frage, ob ich es mir möglicherweise zu einfach machen mag!
Sie lautet:
Beschreiben Sie die folgenden Mengen mit Hilfe linearer Ungleichungen!
a) A= {x [mm] \in \IR^{n} [/mm] : [mm] |x_{i}| \le [/mm] 1, i=1,...,n}
b) B= {x [mm] \in \IR^{n} [/mm] : [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_{i}| \le [/mm] 1, i=1,...,n}
Also zu a) hab ich mir überlegt, dass man doch einfach nur die Betragsstriche auflösen muß und man dann quasi die linearen Ungleichungen
[mm] x_{1} \le [/mm] 1 und [mm] -x_{1} \le [/mm] 1
.
.
.
[mm] x_{n} \le [/mm] 1 und [mm] -x_{n} \le [/mm] 1
erhält
und bei b) wärs dann entsprechend
[mm] x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n} \le [/mm] 1
[mm] -x_{1} [/mm] - ... - [mm] x_{n} \le [/mm] 1
Also wenn ich mich da grad total verhaue dann wär ich sehr dankbar für ein paar Hinweise!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Do 28.10.2004 | | Autor: | cremchen |
Also irgendwie kommt mir die sache, je länger ich drüber nachdenke so richtig vor, aber ich würd mich trotzdem freuen, wenn mir das jemand bestätigen odr sogar doch widerlegen könnte!
Liebe Grüße und noch einen schönen Abend
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mo 01.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo!
Ich habe noch eine Frage zu Aufgabe b)
Am Wochenende kam mir in den Sinn dass ich da wohl was falsch gemacht habe!
Die Aufgabe lautete ja:
Schreiben Sie die Menge mittels Ungleichungen
b) B= [mm]\{x \in \IR^{n} : \summe_{i=1}^{n}|x_{i}| \le 1, i=1,...,n\}
[/mm]
das kann man ja nun anders schreiben als
[mm] |x_{1}| [/mm] + ... + [mm] |x_{n}| \le [/mm] 1
nun hatte ich bisher ja die beiden Ungleichungen
[mm]x_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{n} \le[/mm] 1
[mm]-x_{1}[/mm] - ... - [mm]x_{n} \le[/mm] 1
aber müssen da nicht noch alle anderen Varianten von + und - hin?
also zum Beispiel
[mm]-x_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{n} \le[/mm] 1
und
[mm]-x_{1}[/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + ... + [mm]x_{n} \le[/mm] 1
und das solange bis ich jede mögliche Variante hab?
Aber wie schreib ich das dann auf?
Kann mir bitte jemand helfen?
Liebe Grüße und schonmal danke im voraus
Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulrike!
> Die Aufgabe lautete ja:
> Schreiben Sie die Menge mittels Ungleichungen
> b) B= [mm]\{x \in \IR^{n} : \summe_{i=1}^{n}|x_{i}| \le 1, i=1,...,n\}
[/mm]
>
>
> das kann man ja nun anders schreiben als
> [mm]|x_{1}|[/mm] + ... + [mm]|x_{n}| \le[/mm] 1
>
> nun hatte ich bisher ja die beiden Ungleichungen
> [mm]x_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{n} \le[/mm] 1
> [mm]-x_{1}[/mm] - ... - [mm]x_{n} \le[/mm] 1
>
> aber müssen da nicht noch alle anderen Varianten von + und
> - hin?
>
> also zum Beispiel
> [mm]-x_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{n} \le[/mm] 1
> und
> [mm]-x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + ... + [mm]x_{n} \le[/mm] 1
> und das solange bis ich jede mögliche Variante hab?
Oh, jo!
Ich muss wohl irgendwie die Betragstriche um die Summe gesehen haben -- tut mir leid, dass ich das erst hab' durchgehen lassen 
> Aber wie schreib ich das dann auf?
Das ist tatsächlich ein Problem. Es gibt ja [mm] 2^n [/mm] Ungleichungen, und eine Möglichkeit wäre:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \delta_i*x_i\le1$, $(\delta_1,\ldots,\delta_n)\in\{-1,1\}^n$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Mo 01.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo marc!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Deine Schreibweise gefällt mir gut, die werd ich auch so übernehmen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulrike!
> also zum Beispiel
> [mm]-x_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{n} \le[/mm] 1
> und
> [mm]-x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + ... + [mm]x_{n} \le[/mm] 1
> und das solange bis ich jede mögliche Variante hab?
Da fällt mir auch noch was ein.
Wie sind denn die bisher gefunden Ungleichungen logisch miteinander verbunden?
Ich habe gerade Schwierigkeiten, zu zeigen, dass folgende Ungleichungssysteme äquivalent sind:
[mm] $|x_1|+|x_2|\le1$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] ($x_1+x_2\le [/mm] 1$ und [mm] $x_1\ge0$ [/mm] und [mm] $x_2\ge0$)
[/mm]
oder
[mm] ($x_1-x_2\le [/mm] 1$ und [mm] $x_1\ge0$ [/mm] und [mm] $x_2<0$)
[/mm]
oder
[mm] ($-x_1+x_2\le [/mm] 1$ und [mm] $x_1<0$ [/mm] und [mm] $x_2\ge0$)
[/mm]
oder
[mm] ($-x_1-x_2\le [/mm] 1$ und [mm] $x_1<0$ [/mm] und [mm] $x_2<0$)
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x_1+x_2\le [/mm] 1$
und
[mm] $x_1-x_2\le [/mm] 1$
und
[mm] $-x_1+x_2\le [/mm] 1$
und
[mm] $-x_1-x_2\le [/mm] 1$
Hast du eine Idee?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mo 01.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Marc!
Ist schon manchmal erstaunlich wie schwierig sich so manch einfach-ausschauende Aufgabe gestaltet!
Ich hab mir zur Beruhigung meines eigenen Gewissens überlegt, dass die Menge dieser Gleichungssysteme tatsächlich stimmt!
Nur so rein formal zeigen kann ich es nicht!
Tut mi leid dass ich dir da nicht helfen kann!
Liebe Grüße
Ulrike
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