Lineare Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils eine Basis B und die Dimension der folgenden linearen Unterräume U.
(a) U [mm] =\{\vec{x} | (1,2,1)\vec{x}=0 ~und~ (1,1,1)\vec{x}=0\}
[/mm]
(b) U = [mm] span\{(1,3,-1,2)^T, (2,3,0,0)^T, (5,9,-1,2)^T\}
[/mm]
(c) U = [mm] span\{(1,0,0)^T,(1,1,0)^T,(1,1,2)^T\} [/mm] |
Hallo,
ich würde gerne meine Ergebnisse überprüfen, vielleicht kann mir jemand etwas dazu sagen.
(a)
Darstellung als [mm] \pmat{ 1 & 2 &1 \\ 1 & 1&1 }\vec{x}=0
[/mm]
Lösung des LGS
[mm] \vmat{1 & 2 &1=0 \\ 1 & 1&1 =0}
[/mm]
[mm] \vmat{1 & 2 &1=0 \\ 0 & 1&0 =0}
[/mm]
Einführung eines Parameters t
z=t
y=0
x+2*0*+t=0 => x=-t
Darstellung als [mm] U=\{\vec{x}~|~\vec{x}=t \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}; t \in \mathbb{R}\}
[/mm]
Dimension von U = 1
Basis von U = [mm] B_U=\{\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
zu b) und c)
Hier ist ja schon der span angegeben, muss ich dann für die Basis einfach nur die Vektoren abschreiben? Haben beide Unterräume die Dimension 3?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 22.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie jeweils eine Basis B und die Dimension der
> folgenden linearen Unterräume U.
>
> (a) U [mm]=\{\vec{x} | (1,2,1)\vec{x}=0 ~und~ (1,1,1)\vec{x}=0\}[/mm]
>
> (b) U = [mm]span\{(1,3,-1,2)^T, (2,3,0,0)^T, (5,9,-1,2)^T\}[/mm]
>
> (c) U = [mm]span\{(1,0,0)^T,(1,1,0)^T,(1,1,2)^T\}[/mm]
> Hallo,
> ich würde gerne meine Ergebnisse überprüfen, vielleicht
> kann mir jemand etwas dazu sagen.
>
> (a)
> Darstellung als [mm]\pmat{ 1 & 2 &1 \\ 1 & 1&1 }\vec{x}=0[/mm]
>
> Lösung des LGS
>
> [mm]\vmat{1 & 2 &1=0 \\ 1 & 1&1 =0}[/mm]
>
> [mm]\vmat{1 & 2 &1=0 \\ 0 & 1&0 =0}[/mm]
>
> Einführung eines Parameters t
>
> z=t
> y=0
> x+2*0*+t=0 => x=-t
>
> Darstellung als [mm]U=\{\vec{x}~|~\vec{x}=t \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}; t \in \mathbb{R}\}[/mm]
>
> Dimension von U = 1
>
> Basis von U = [mm]B_U=\{\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
Alles richtig.
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> zu b) und c)
>
> Hier ist ja schon der span angegeben, muss ich dann für
> die Basis einfach nur die Vektoren abschreiben?
Hossa, das wäre einfach !
Beispiel: U =span [mm] \{(1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T \}
[/mm]
Nach Deiner Methode wäre [mm] \{(1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T \} [/mm] eine Basis von U.
Du misst die Vektoren , die U aufspannen auf lineare Unabhängigkeit untersuchen !!
Haben beide
> Unterräume die Dimension 3?
Nein . Ich verrats Dir
in b) ist dimU =2.
in c) ist dimU =3.
Zeige das !
FRED
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
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> >
> > zu b) und c)
> >
> > Hier ist ja schon der span angegeben, muss ich dann für
> > die Basis einfach nur die Vektoren abschreiben?
>
> Hossa, das wäre einfach !
>
> > Beispiel: U =span [mm]\{(1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T \}[/mm]
>
> Nach Deiner Methode wäre [mm]\{ (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T, (1,2,3)^T \}[/mm]
> eine Basis von U.
>
>
> Du misst die Vektoren , die U aufspannen auf lineare
> Unabhängigkeit untersuchen !!
>
>
> Haben beide
> > Unterräume die Dimension 3?
>
> Nein . Ich verrats Dir
>
> in b) ist dimU =2.
>
> in c) ist dimU =3.
>
> Zeige das !
>
> FRED
> >
Hallo,
danke für die Überprüfung.
Ich finde die lineare Abhängigkeit in diesem Fall ja [mm] \vektor{1\\3\\-1\\2}+2*\vektor{2\\3\\0\\0}=\vektor{5\\9\\-1\\2} [/mm] sieht man gar nicht so leicht.
Sollte man grundsätzlich bei solchen Aufgaben die angegeben Vektoren mittels Gauß-Verfahren auf lineare Unabhängigkeit prüfen?
Ist also prinzipiell egal, welchen der Vektoren ich weglassen? Ich könnte ja auch [mm] \vektor{1\\3\\-1\\2}=\vektor{5\\9\\-1\\2}-2*\vektor{2\\3\\0\\0} [/mm] darstellen.
Also würde die Basis z.B [mm] B_U =\{ \vektor{1\\3\\-1\\2},\vektor{2\\3\\0\\0} \} [/mm] sein?
Bei der c) wären dann ja entsprechend die Vektoren des Spans die Basis oder?
Vielen Dank im Voraus!
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> Ich finde die lineare Abhängigkeit in diesem Fall ja
> [mm]\vektor{1\\3\\-1\\2}+2*\vektor{2\\3\\0\\0}=\vektor{5\\9\\-1\\2}[/mm]
> sieht man gar nicht so leicht.
Hallo,
ja, da ist es gut, daß wir zusätzlich zum Gucken auch noch rechnen können.
>
> Sollte man grundsätzlich bei solchen Aufgaben die
> angegeben Vektoren mittels Gauß-Verfahren auf lineare
> Unabhängigkeit prüfen?
Wenn nicht gleich lineare Abhängigkeiten ins Auge springen, löst man die Gleichung
[mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_n=0,
[/mm]
hier:
[mm] \lambda_1\vektor{1\\3\\-1\\2}+\lmbda_2\vektor{5\\9\\-1\\2}+\lambda_3\vektor{2\\3\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0\\0},
[/mm]
welche auf ein homogenes LGS führt.
Eine gute Lösungsmöglichkeit bietet das Gauß-Verfahren.
Genau eine Lösung: linear unabhängig
Mehr als eine Lösung: linear abhängig
> Ist also prinzipiell egal, welchen der Vektoren ich
> weglassen? Ich könnte ja auch
> [mm]\vektor{1\\3\\-1\\2}=\vektor{5\\9\\-1\\2}-2*\vektor{2\\3\\0\\0}[/mm]
> darstellen.
>
> Also würde die Basis z.B [mm]B_U =\{ \vektor{1\\3\\-1\\2},\vektor{2\\3\\0\\0} \}[/mm]
> sein?
Ja, auch diese beiden Vektoren sind linear unabhängig.
Die Basis eines Vektorraumes ist nicht eindeutig. I.a. gibt es viele Basen.
>
> Bei der c) wären dann ja entsprechend die Vektoren des
> Spans die Basis oder?
Ja, weil die linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis.
LG Angela
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> Vielen Dank im Voraus!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Fr 23.05.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Vielen Dank für die Anmerkungen, insbesondere das Einführen des [mm] \lambda [/mm] zur Untersuchung der linearen Abhängigkeit über das Gauß-Verfahren.
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