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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Betrachten Sie die drei Funktionen [mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] e^{x}, f_{2}(x) [/mm] = sin(x), [mm] f_{3}(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] als Vektoren im [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V:= [mm] \{f: \IR \to \IR | f Funktion \}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] f_1 ,f_2 ,f_3 [/mm] linear unabhängig sind. |
Guten Tag,
also ich soll zeigen, dass [mm] \lambda_{1}e^{x}+ \lambda_{2}sin(x) [/mm] + [mm] \lambda_{3}x^{2} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0.
Nun habe ich keine wirkliche Idee wie ich dies zeigen kann. Man muss wohl irgendwie die Eigenschaften der Funktionen geschickt nutzen. Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> Betrachten Sie die drei Funktionen [mm]f_{1}(x)[/mm] = [mm]e^{x}, f_{2}(x)[/mm]
> = sin(x), [mm]f_{3}(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] als Vektoren im [mm]\IR-Vektorraum[/mm]
> V:= [mm]\{f: \IR \to \IR | f Funktion \}.[/mm] Zeigen Sie, dass [mm]f_1 ,f_2 ,f_3[/mm]
> linear unabhängig sind.
> Guten Tag,
>
> also ich soll zeigen, dass [mm]\lambda_{1}e^{x}+ \lambda_{2}sin(x)[/mm]
> + [mm]\lambda_{3}x^{2}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \lambda_{1}[/mm] =
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0.
>
> Nun habe ich keine wirkliche Idee wie ich dies zeigen kann.
> Man muss wohl irgendwie die Eigenschaften der Funktionen
> geschickt nutzen. Hat jemand einen Tipp für mich?
Führe die Gleichung zurück auf eine polynomiale Gleichung.
Daraus ergeben sich dann die Koeffizienten [mm]\lambda_{k}, \ k=1,2,3[/mm]
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. [mm] \lambda_{1}e^{x}+\lambda_{2}sin(x)+\lambda_{3}x^{2} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{n} [/mm] ( [mm] \lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+ \lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+ \lambda_{3}x^{2}) [/mm] = 0
Meintest du das? Wie kann man hier nun weiter machen?
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> Ok. [mm]\lambda_{1}e^{x}+\lambda_{2}sin(x)+\lambda_{3}x^{2}[/mm] =
> 0
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> [mm]\Rightarrow \summe_{k=0}^{n}[/mm] (
> [mm]\lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+ \lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+ \lambda_{3}x^{2})[/mm]
> = 0
>
> Meintest du das? Wie kann man hier nun weiter machen?
Ja, genau das meinte ich.
Fasse jetzt die Koeffizienten exponentenweise zusammen.
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
[mm] \summe_{k=0}^{n}( \lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+ \lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+ \lambda_{3}x^{2}) [/mm] =
[mm] \summe_{k=3}^{n} [/mm] ( [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] x(\lambda_{1}+\lambda_{2}) [/mm] + [mm] x^{2}*(\bruch{1}{2}* \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{3}) [/mm] + [mm] x^{3}*(-\bruch{\lambda_{2}}{3!}) [/mm] + [mm] x^{5}*(\bruch{\lambda_{2}}{5!}) [/mm] + [mm] (\lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+ \lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+ \lambda_{3}x^{2})) [/mm] = 0
Und nun?
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> [mm]\summe_{k=0}^{n}( \lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+ \lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+ \lambda_{3}x^{2})[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=3}^{n}[/mm] ( [mm]\lambda_{1}[/mm] + [mm]x(\lambda_{1}+\lambda_{2})[/mm]
> + [mm]x^{2}*(\bruch{1}{2}* \lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{3})[/mm] +
> [mm]x^{3}*(-\bruch{\lambda_{2}}{3!})[/mm] +
> [mm]x^{5}*(\bruch{\lambda_{2}}{5!})[/mm] +
> [mm](\lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+ \lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+ \lambda_{3}x^{2}))[/mm]
> = 0
Schreibe das doch so:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}( \ \lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+\lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \ )+ \lambda_{3}x^{2}[/mm]
[mm]=\lambda_{1}*\left(1+x+\bruch{x^{2}}{2}\right)+\lambda_{1}*\summe_{k=3}^{\infty}*\bruch{x^{k}}{k!}+\lambda_{2}*x+\lambda_2*\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\lambda_{3}*x^{2}[/mm]
>
> Und nun?
Jetzt weisst Du das, das das nur Nullpolynom ergibt,
wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind.
Daraus berechnen sich die [mm]\lambda_{k}, \ k=1,2,3[/mm]
Es genügt die ersten 3 Koeffizienten zu betrachten.
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Schreibe das doch so:
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}( \ \lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+\lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \ )+ \lambda_{3}x^{2}[/mm]
>
> [mm]=\lambda_{1}*\left(1+x+\bruch{x^{2}}{2}\right)+\lambda_{1}*\summe_{k=3}^{\infty}*\bruch{x^{k}}{k!}+\lambda_{2}*x+\lambda_2*\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\lambda_{3}*x^{2}[/mm]
>
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> >
> > Und nun?
>
>
> Jetzt weisst Du das, das das nur Nullpolynom ergibt,
> wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind.
>
> Daraus berechnen sich die [mm]\lambda_{k}, \ k=1,2,3[/mm]
>
> Es genügt die ersten 3 Koeffizienten zu betrachten.
>
Also um ehrlich zu sein. Ich sehe das nicht und wissen tu ich das auch nicht? Woran sieht man denn nun an dem Polynom das es nur 0 ist, [mm] \lambda_k [/mm] = 0 sind?
> >
> > LG Loriot95
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Loriot95,
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> > Schreibe das doch so:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}( \ \lambda_{1}*\bruch{x^{k}}{k!}+\lambda_{2}*(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \ )+ \lambda_{3}x^{2}[/mm]
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> >
> [mm]=\lambda_{1}*\left(1+x+\bruch{x^{2}}{2}\right)+\lambda_{1}*\summe_{k=3}^{\infty}*\bruch{x^{k}}{k!}+\lambda_{2}*x+\lambda_2*\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\lambda_{3}*x^{2}[/mm]
> >
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> > >
> > > Und nun?
> >
> >
> > Jetzt weisst Du das, das das nur Nullpolynom ergibt,
> > wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind.
> >
> > Daraus berechnen sich die [mm]\lambda_{k}, \ k=1,2,3[/mm]
> >
> > Es genügt die ersten 3 Koeffizienten zu betrachten.
> >
> Also um ehrlich zu sein. Ich sehe das nicht und wissen tu
> ich das auch nicht? Woran sieht man denn nun an dem Polynom
> das es nur 0 ist, [mm]\lambda_k[/mm] = 0 sind?
>
Man weiss, daß die Polynome [mm]1, \ x, \ x^{2} , \ ... [/mm] linear unabhängig sind.
> > >
> > > LG Loriot95
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Und wo her? Ist das sowas allgemein bekanntes?
LG Loriot95
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> Und wo her? Ist das sowas allgemein bekanntes?
Hallo,
Daß die Polynome [mm] 1,x,x^2,... [/mm] linear unabhängig sind, weiß man aus der Vorlesung, in der der Vektorraum der Polynome eingeführt wurde.
Mir will aber der hier eingeschlagene Lösungsweg nicht recht schmecken, denn in der linearen Algebra werden keine Polynome unendlichen Grades betrachtet.
Gruß v. Angela
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> also ich soll zeigen, dass [mm]\lambda_{1}e^{x}+ \lambda_{2}sin(x)[/mm]
> + [mm]\lambda_{3}x^{2}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \lambda_{1}[/mm] =
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0.
Hallo,
Du willst zeigen, daß aus [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3=Nullfunktion [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
[/mm]
Zwei Funktionen [mm] (hier:\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3 [/mm] und die Nullfunktion) sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen Stellen übereinstimmen.
Dh. es ist zu zeigen ist, daß aus
[mm] $\lambda_{1}e^{x}+ \lambda_{2}sin(x)$+ $\lambda_{3}x^{2}$ [/mm] = 0 für alle x
folgt, daß [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
[/mm]
Wenn dies für alle x gilt, dann gilt es insbesondere auch für drei Stellen [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] die Du Dir aussuchst, etwa [mm] x_1=0, x_2=1, [/mm] x-3=-1.
Hieraus erhältst Du ein lineares Gleichungssystem, aus welchem Du die [mm] \lambda_i [/mm] gewinnen kannst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Vielen Dank :). Werde das mal versuchen.
LG Loriot95
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