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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 15.09.2004 | | Autor: | kaynak |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
hi leude, habe da ein problem mit folgender Frage:
"eine wachstumsfunktion sei als exponentialfunktion
W(x) = a + b + [mm] c^x [/mm] darstellbar. auf der basis der empirisch gewonnenen wertepaare:
x | 1 2 3
W(X) | 7 8 9,5
sind die koeffizienten a,b,c zu berechnen."
mein ansatz:
I 7 = a + b + c
II 8 = a + b + [mm] c^2
[/mm]
III 9,5 = a + b + [mm] c^3
[/mm]
jetzt muss man ja normalerweise auflösen, aber wie? habe II - I gerechnet ----> 1 = c (c - 1)
Aber das bringt irgendwie nichts?!?
Hilfeeeee 
danke für jede konstruktive antwort!
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II - I ergibt c(c-1 ) = 1
III-II ergibt c²(c-1) = 1,5
der
Quotient dieser beiden, "(III-II)/(II-I)", ergibt c = 1,5
ich
nehme an, damit kannst Du nun weiterrechnen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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> hi leude, habe da ein problem mit folgender Frage:
> "eine wachstumsfunktion sei als exponentialfunktion
> W(x) = a + b + [mm]c^x[/mm] darstellbar. auf der basis der empirisch
> gewonnenen wertepaare:
>
> x | 1 2 3
> W(X) | 7 8 9,5
>
> sind die koeffizienten a,b,c zu berechnen."
>
> mein ansatz:
>
> I 7 = a + b + c
> II 8 = a + b + [mm]c^2
[/mm]
> III 9,5 = a + b + [mm]c^3
[/mm]
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> jetzt muss man ja normalerweise auflösen, aber wie? habe II
> - I gerechnet ----> 1 = c (c - 1)
> Aber das bringt irgendwie nichts?!?
>
> Hilfeeeee
>
> danke für jede konstruktive antwort!
>
1. Ansatz
1) $ 7=a+b+c $
2) $ [mm] 8=a+b+c^2 [/mm] $
3) $ [mm] 9,5=a+b+c^3 [/mm] $
für c ungleich 0
2)-1) $ [mm] 1=c^2-c=c(c-1) [/mm] $
-> 4) $ c-1=1/c $
3)-2) $ [mm] 1,5=c^2(c-1) [/mm] $
-> 5) $ [mm] c-1=1,5/c^2 [/mm] $
4) in 5)
$ [mm] 1/c=1,5/c^2 [/mm] $
$ [mm] c^2/c=1,5 [/mm] $
$ c=1,5 $
Problem:
Setz man den errechneten Wert für $ c $ ein, so erhäkt man falsche Aussagen.
2. Ansatz
2)-1) $ [mm] 1=c^2-c [/mm] $ bzw. $ [mm] c+1=c^2 [/mm] $
3)-2) $ [mm] 1,5=c^3-c^2 [/mm] $ bzw. $ [mm] c^2+1,5=c^3 [/mm] $
3)-1) $ [mm] 2,5=c^3-c [/mm] $ bzw. $ [mm] c+2,5=c^3 [/mm] $
Nun habe ich Lösungen für:
$ [mm] c^2-c-1=0 [/mm] $ gesucht.
Mögliche $ c $ Werte sind;
$ c1=(1+Wurzel(5))/2 $
und
$ c2=(1-Wurzel(5))/2 $
Den zweiten Wert ließ ich wegen der ungeraden Exponenten in den anderen zu erfüllenden Gleichungen außer Acht.
Die anderen zu erfüllenden Gleichungen waren $ [mm] c^2+1,5=c^3 [/mm] $ und $ [mm] c+2,5=c^3 [/mm] $ .
Auch für sie ergeben sich Lösungen für Werte von ungefähr $ (1+Wurzel(5))/2 $ , aber leider nur fast.
Durch meine Rechnungen vermute ich, dass es keine Lösung gibt, lasse die Frage aber auf teilweise beantwortet, da ich mir unsicher bin.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir einer meinen möglichen Fehler zeigt.
liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Do 16.09.2004 | | Autor: | kaynak |
hallo, dank für die antworten, aber ich verstehe den schritt von fugre 4.) in 5.)
nicht! also wie ich genau zu c = 1,5 komme! ich meine rein rechnerisch! wie sehen die rechenoperationen aus?
ist übrigens keine hausarbeit oä sondern eine aufgabe aus einem übungsheft für studienanfänger...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Do 16.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo kaynak
ich denke, Fugre hat so überlegt:
4) $1-c=1/c$
5) [mm] $1-c=1,5/c^2$
[/mm]
4) in 5) heisst: die Gleichung 4) in der Gleichung 5) einsetzen.
Bei Gleichung 4) steht, dass $1-c$ den Wert $1/c$ hat
Bei Gleichung 5) steht auf der linken Seite auch $1-c$, kann also gemäss Gleichung 4) durch $1/c$ ersetzt werden.
Deshalb:
[mm] $1/c=1,5/c^2$
[/mm]
Dann die Ganze Gleichung mit [mm] $c^2$ [/mm] multipliziert:
[mm] $c^{2}/c=1,5$
[/mm]
... und die linke Seite, den Bruch, mit $c$ gekürzt:
$c=1,5$
Ist jetzt alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo kaynak
wie du durch Fugre bereits erfahren hast, scheint es hier keine genaue Lösung zu geben. Dies ist tatsächlich so!
Die Lösungsmethode von FriedrichLaher und zum Teil auch Fugre würden zu $c=1,5$ führen.
Die Gleichungen I) und II) führen zu [mm] $c=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}$, [/mm] wie Fugre nachgewiesen hat, die Gleichung III) ist dann aber nicht genau erfüllt!
Warum ist das so?
Nun: die Gleichungen sind überdefiniert und führen zu Widersprüchen.
Man überlegt sich das leicht, wenn man mal für $a+b$ die Substitution $d$ vornimmt. Dann heissen die 3 Gleichungen:
$d+c=7$
[mm] $d+c^{2}=8$
[/mm]
[mm] $d+c^{3}=9.5$
[/mm]
- 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten -
Gottseidank heisst es in der Aufgabenstellung, dass die Werte empirisch ermittelt worden sind. Das heisst, dass bei den Messungen Fehler vorkommen können, die Werte $7$, $8$ und $9.5$ also fehlerbehaftet sein dürfen.
Zeichnet man mal eine Funktion [mm] $d+c^{x}$ [/mm] in ein Koordinatensystem ein, dann könnte man etwa so vorgehen, dass man sich sagt: gut: die Kurve soll möglichst genau durch die gegebenen Werte bei $x = 1$ und bei $x = 3$ gehen, der Zwischenwert soll den Fehler erhalten. Das würde dann heissen, dass ich die Gleichung I) und III) zur Lösung heranziehen:
I) $d+c=7$
II) [mm] $d+c^{3}=9.5$
[/mm]
So erhalte ich, mittels Newton-Verfahren, $c=1.6$
Mit $d=5.4$ ergäbe das für die 3 Messwerte:
$1 [mm] \to [/mm] 7$
$2 [mm] \to [/mm] 7.96$
$3 [mm] \to [/mm] 9.4$
Wenn du die Gleichungen I) und II) heranziehst, wie es Fugre im 2. Ansatz gezeigt hat, erhältst du:
[mm] $c=\bruch{1+\wurzel{5}}{1}$, [/mm] also $c=1.62$ und damit aus I): $d=5.38$:
$1 [mm] \to [/mm] 7$
$2 [mm] \to [/mm] 8$
$3 [mm] \to [/mm] 9.62$
Ich würde die 2. Lösung deinem Lehrer präsentieren. Sie hat auch den Vorteil, dass das sauber analytisch errechnet werden kann.
Den Wert $c=1.5$, wie er durch FriedrichLaher vorgeschlagen worden ist, würde ich nicht nehmen, da die Abweichungen von den gemessenen Werten zu gross werden. Vielleicht aber statt $c=1.62$ den Wert $c=1.61$
Entscheide selber!
Mit lieben Grüssen
Paul
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