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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 So 10.10.2010 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Problem, das von Leonardo Fibonacci aus Pisa (um 1200) stammt.
Stellen Sie dazu ein LGS auf und lösen Sie es!
Sie finden eine Geldbörse, die 22 Geldstücke enthält. Deren Betrag vergleichen Sie mit dem Vermögen [mm] x_1, x_2, x_3 und x_4 [/mm] von 4 Personen. Dabei stellen Sie fest, dass der Besitz von Person 1, addiert zu dem gefundenen Betrag, das doppelte des Vermögens von Person 2 und Person 3 zusammen ergibt. Analog ergeben die 22 Geldstücke zusammen mit dem Besitz von Person 2 das Dreifache des gemeinsamen Besitzes der Person 3 und 4, addiert zu dem Besitz von Person 3 das Vierfache des gemeinsamen Vermögens der Personen 1 und 4, sowie addiert zu dem Besitz von Person 4 das fünffache des Vermögens der Personen 1 und 2 zusammengenommen.
Zeigen Sie, dass diese Aufgabe (unabhängig von dem Gefundenen Geldbetrag) nur eine Lösung hat, wenn eine der Personen Schulden hat. Wie sind die Vermögensverhältnisse der 4 Personen? |
Guten Morgen
Mein Lösungsansatz sieht so aus:
[mm] x_1 + 22 = 2 * (x_2 + x_3) [/mm]
[mm] x_2 + 22 = 3 * (x_3 + x_4) [/mm]
[mm] x_3 + 22 = 4 * (x_1 + x_4) [/mm]
[mm] x_4 + 22 = 5 * (x_1 + x_2) [/mm]
Klammern ausmultiplizieren und ordnen.
[mm] \begin{matrix} -1x_1 & +2x_2 & +2x_3 & 0x_4 \\ 0x_1 & -1x_2 & +3x_3 & +3x_4 \\ 4x_1 & +0x_2 & -1x_3 & +4x_4 \\ 5x_1 & 5x_2 & 0x_3 & -1x_4 \end{matrix} \begin{matrix} = \\ = \\ = \\ = \end{matrix} \begin{matrix} 22 \\ 22 \\ 22 \\ 22 \end{matrix} [/mm]
Die erweiterte Koeffizientenmatrix:
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \end{matrix} \begin{pmatrix} -1 & +2 & +2 & 0 \\ 0 & -1 & +3 & +3 \\ 4 & -1 & +3 & +4 \\ 5 & +5 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{matrix} 22 \\ 22 \\ 22 \\ 22 \end{matrix} [/mm]
Bevor Ich anfange dieses LGS zu lösen wüsste Ich gerne, ob Ich das soweit richtig gemacht habe?
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruß Dust
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 So 10.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein GS ist richtig aufgestellt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 10.10.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo
Ich habe diese Lösung für das LGS.
[mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 2 \\ 8 \end{matrix} [/mm]
Ich habe die Werte für [mm] x_1, x_2,x_3 und x_4 [/mm] in das LGS eingesetzt.
Und es funktioniert.
Wenn Ich den zweiten Teil der Aufgabe lese kommen mir aber Zweifel. Und zwar , weil [mm] x_1 = -2 [/mm]. Das sieht für mich schon danach aus, als ob [mm] x_1 [/mm] schon Schulden hat.
Ich brauche da einen Hinweis.
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruß Dust
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 10.10.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Lösung ist korrekt. Person 1 hat Schulden. Allerdings ist in der Geldbörse nicht der Betrag 22 enthalten, sondern 22 Geldstücke von einem unbekannten Betrag. Somit kann man die Vermögensverhältnisse nicht genau bestimmen, man findet aber heraus, wenn man 22 durch einen unbekannten Betrag a ersetzt, dass Person soviel Schulden hat wie Person 3 Guthaben und Pesron 2 und 4 ein gleiches Vermögen besitzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 10.10.2010 | | Autor: | Dust |
Ich hatte den Lösungsweg nicht mit angegeben. Sorry.
Gruß Dust
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| Aufgabe | -x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 = 22
0x1 - 1x2 + 3x3 +3x4 = 22
4x1 + 0x2 -1x3 + 4x4 = 22
5x1 + 5x2 + 0x3 - 1x4 = 22 |
Hallo, ich hänge gerade an der selben Aufgabe fest und bin etwas verwundert.
Deine erweiterte Koeffizientenmatrix lautet ja :
1 2 2 0 22
0 1 3 3 22
4 -1 3 4 22
5 5 0 -1 22
Wie kommst du denn von 0x2 und 1x3 in Term III auf 4 -1 3 4 in der Koeffizientenmatrix?
Gruß,
Die Gruene_Fee
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> -x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 = 22
> 0x1 - 1x2 + 3x3 +3x4 = 22
> 4x1 + 0x2 -1x3 + 4x4 = 22
> 5x1 + 5x2 + 0x3 - 1x4 = 22
> Hallo, ich hänge gerade an der selben Aufgabe fest und
> bin etwas verwundert.
> Deine erweiterte Koeffizientenmatrix lautet ja :
>
> 1 2 2 0 22
> 0 1 3 3 22
> 4 -1 3 4 22
> 5 5 0 -1 22
>
> Wie kommst du denn von 0x2 und 1x3 in Term III auf 4 -1 3 4
> in der Koeffizientenmatrix?
Hallo,
das ist ein Fehler, sicher ist Dust beim Abschreiben irgendwie verrutscht.
LG Angela
>
> Gruß,
> Die Gruene_Fee
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Kann mir jemand die Matrix zeigen, so die ersten 2-3 Rechenschritte.
ich komme da nicht weiter:
Ich habe zuerst:
-1 2 2 0 | 22
0 -1 3 3 |22
4 0 -1 4 |22
5 5 0 -1| 22
-1 2 2 0| 22
1 1 5 3 | 22
0 8 3 4| 100
0 15 10 -1 | 132
-3 0 1 3| -22
-1 1 5 3|22
1 7 -2 1| 78
2 13 0 -7| - 68
1 14 -3 5| 134
0 8 3 4| 100
1 7 -2 1| 78
0 -1 4 -9| 88
Ich habe das Gefühl, dass ich entweder falsch an die Rechnerei rangehe oder einen Trick nicht kenne.
Könnt ihr mir bitte helfen?
Das LGS oben bei der Aufgabenstellung habe ich genauso raus bekommen, jetzt darf es doch nicht an der Berechnung fehlen...
Danke schomal!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Sa 05.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
benutze mal
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
aber lass dir die ausführliche Lösungsweg zeigen.
Du machst etwas grundsätzlich falsch. 1. Schritt immer in allen außer der ersten Zeile 0 am Anfang erzeugen. in der 2 ten Zeile ist die schon also 3:Z+4*1te Zeile und 4 te Zeile +5'erst
danach die 2 te Zeile benutzen um in der dritten und vierten 0 an der zweiten -Stelle zu erzeugen
du musst wirklich das Grussverfahren lernen!, vielleicht hilft ja Herr Brüder!
Gruß leduart
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