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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Do 21.10.2010 | | Autor: | bobbert |
| Aufgabe | 2. Bestimmen Sie alle L ösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:
4x1 + 3x2 − 7x3 + 11x4 − 6x6 = 0
8x1 + 8x2 − 5x3 + 12x4 − 2x5 + 3x6 = 0
4x1 + 5x2 + 2x3 + x4 − 2x5 + 9x6 = 0
12x1 + 13x2 − 3x3 + 13x4 − 4x5 + 16x6 = 0 |
Wenn dieses LGS mehr Spalten als Zeilen besitzt hat es dann überhaupt Schnittpunkte bzw. ist es überhaupt lösbar?
Wollte das Gauß-Jordan Elimination anwenden nur konnte ich die Dreiecksform nicth aufstellen. Also dachte ich mir nehme ich noch 2 Zeilen mit jeweils 0 Koeffizienten dazu:
4 3 7 11 0 6 0
8 8 5 12 2 3 0
4 5 2 0 2 9 0
12 13 3 13 4 16 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
Aber am Ende kann/ darf ich ja trotzdem keine 1 in den 2 untersten Zeilen bekommen.
Heißt es, dass es keine eindeutige Lösung gibt ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Do 21.10.2010 | | Autor: | bobbert |
Also das mit der Lösbarkeit nehme ich zurück. Ob das LGs lösbar ist erkennt man erst wenn man die Determinante errechnet.
Allerdings weiß ich nicht wie man vorgeht wenn man eine Dreiecksform erreichen möchte?
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> Also das mit der Lösbarkeit nehme ich zurück. Ob das LGs
> lösbar ist erkennt man erst wenn man die Determinante
> errechnet.
Das ist falsch(!) und die Determinante ist beidiesem Matrixformat nicht definiert. Die Determinante kann man von quadratischen Matrizen errechnen.
Anhand der Determinante erkennt man auch nur die eindeutige Lösbarkeit. Die Lösbarkeit von [mm] $Ax=b\!$ [/mm] erkennt man wie folgt $rg(A)<rg('Ab')$ wobei "Ab" die Matrix A mit der zusätzlichen Spalte b ist.
>
> Allerdings weiß ich nicht wie man vorgeht wenn man eine
> Dreiecksform erreichen möchte?
Wikipedia: Gaußalgorithmus
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> 2. Bestimmen Sie alle L ösungen des folgenden linearen
> Gleichungssystems:
>
> 4x1 + 3x2 − 7x3 + 11x4 − 6x6 = 0
> 8x1 + 8x2 − 5x3 + 12x4 − 2x5 + 3x6 = 0
> 4x1 + 5x2 + 2x3 + x4 − 2x5 + 9x6 = 0
> 12x1 + 13x2 − 3x3 + 13x4 − 4x5 + 16x6 = 0
> Wenn dieses LGS mehr Spalten als Zeilen besitzt hat es
> dann überhaupt Schnittpunkte bzw. ist es überhaupt
> lösbar?
Ja es wird "lösbarer", da freie Variablen zur Verfügung stehen.
>
> Wollte das Gauß-Jordan Elimination anwenden nur konnte ich
> die Dreiecksform nicth aufstellen. Also dachte ich mir
> nehme ich noch 2 Zeilen mit jeweils 0 Koeffizienten dazu:
Das ändert nichts am Gleichungssystem. Aber wenn es schöner aussieht.
>
> 4 3 7 11 0 6 0
> 8 8 5 12 2 3 0
> 4 5 2 0 2 9 0
> 12 13 3 13 4 16 0
> 0 0 0 0 0 0 0
>
> 0 0 0 0 0 0 0
>
> Aber am Ende kann/ darf ich ja trotzdem keine 1 in den 2
> untersten Zeilen bekommen.
Ja du kannst keine Zahlen bei der Dreiecksform in die unteren zwei Zeilen bekommen.
> Heißt es, dass es keine eindeutige Lösung gibt ?
Es gibt hier keine eindeutige Lösung.
[mm] \left( \begin {array}{cccccc} 4&3&-7&11&0&-6\\
\noalign{\medskip}8&8&
-5&12&-2&3\\
\noalign{\medskip}4&5&2&1&-2&9\\
\noalign{\medskip}12&13&
-3&13&-4&16\end {array} \right) \to \left( \begin {array}{cccccc} 4&3&-7&11&0&-6\\
\noalign{\medskip}0&2&
9&-10&-2&15\\
\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&4\\
\noalign{\medskip}0&0&0&0
&0&0\end {array} \right)
[/mm]
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Do 21.10.2010 | | Autor: | bobbert |
Dann weiß ich für's Erste bescheid!
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