Lineares homogenes DGL-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mo 04.07.2011 | | Autor: | sytest |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
y' = A * y
mit
[mm] A=\pmat{ 1 & -1 \\ 4 & -3 } [/mm] |
Hallo,
gleich vorweg: Die Aufgabenstellung verlangt die Lösung eines Anfangswertproblems, da es mir aber ausschließlich um die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems (bzw. das Berechnen eines Fundamentalsystems) geht, habe ich den Rest weggelassen.
Ich habe zunächst die Eigenwerte der Matrix A bestimmt.
Eigenwerte: [mm] v_{1}=-1 [/mm] mit Vielfachheit [mm] k_{1}=2
[/mm]
Danach habe ich eine Basis von
[mm] Kern(A-v_{1}*E_{2})^{1} [/mm] = [mm] [\vektor{1 \\ 2}] [/mm]
und von
[mm] Kern(A-v_{1}*E_{2})^{2} [/mm] = [mm] [\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}] [/mm]
bestimmt.
Nun kommen wir zu meinem Problem: Wie bestimmte ich die Vektoren des Fundamentalsystems, bzw. welche der 3 Vektoren nutze ich nun um die Vektoren des Fundamentalsystems anzugeben?
Mein erster Einfall war:
[mm] y^{(1)}=e^{-x}*\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
[mm] y^{(2)}=e^{-x}*(\vektor{1 \\ 0}+x*(A+E_{2})*\vektor{1 \\ 0})=e^{-x}*\vektor{1+x \\ 2*x}
[/mm]
Ist das korrekt?
Oder muss man mit [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] arbeiten?
Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit zu überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
Ich bedanke mich vorab für Hilfen zu dem Thema :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sytest,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
> y' = A * y
> mit
> [mm]A=\pmat{ 1 & -1 \\ 4 & -3 }[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> gleich vorweg: Die Aufgabenstellung verlangt die Lösung
> eines Anfangswertproblems, da es mir aber ausschließlich
> um die allgemeine Lösung des linearen
> Differentialgleichungssystems (bzw. das Berechnen eines
> Fundamentalsystems) geht, habe ich den Rest weggelassen.
>
> Ich habe zunächst die Eigenwerte der Matrix A bestimmt.
> Eigenwerte: [mm]v_{1}=-1[/mm] mit Vielfachheit [mm]k_{1}=2[/mm]
> Danach habe ich eine Basis von
> [mm]Kern(A-v_{1}*E_{2})^{1}[/mm] = [mm][\vektor{1 \\ 2}][/mm]
> und von
> [mm]Kern(A-v_{1}*E_{2})^{2}[/mm] = [mm][\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}][/mm]
> bestimmt.
>
> Nun kommen wir zu meinem Problem: Wie bestimmte ich die
> Vektoren des Fundamentalsystems, bzw. welche der 3 Vektoren
> nutze ich nun um die Vektoren des Fundamentalsystems
> anzugeben?
> Mein erster Einfall war:
> [mm]y^{(1)}=e^{-x}*\vektor{1 \\ 2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]y^{(2)}=e^{-x}*(\vektor{1 \\ 0}+x*(A+E_{2})*\vektor{1 \\ 0})=e^{-x}*\vektor{1+x \\ 2*x}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]y^{(2)}=e^{-x}*(\vektor{1 \\ 0}+x*(A+E_{2})*\vektor{1 \\ 0})=e^{-x}*\vektor{1+\red{2}x \\ \red{4}*x}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
> Oder muss man mit [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> arbeiten?
> Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit zu
> überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
Setze diese Lösungen in das gegebene DGL-System ein.
>
> Ich bedanke mich vorab für Hilfen zu dem Thema :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 04.07.2011 | | Autor: | sytest |
Danke für die schnelle Reaktion :)
> > Nun kommen wir zu meinem Problem: Wie bestimmte ich die
> > Vektoren des Fundamentalsystems, bzw. welche der 3 Vektoren
> > nutze ich nun um die Vektoren des Fundamentalsystems
> > anzugeben?
> > Mein erster Einfall war:
> > [mm]y^{(1)}=e^{-x}*\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
>
>
>
>
> > [mm]y^{(2)}=e^{-x}*(\vektor{1 \\ 0}+x*(A+E_{2})*\vektor{1 \\ 0})=e^{-x}*\vektor{1+x \\ 2*x}[/mm]
>
>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]y^{(2)}=e^{-x}*(\vektor{1 \\ 0}+x*(A+E_{2})*\vektor{1 \\ 0})=e^{-x}*\vektor{1+\red{2}x \\ \red{4}*x}[/mm]
>
>
Stimmt, an dieser Stelle sollte man aus [mm] \vektor{2 \\ 4} [/mm] nicht [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] machen...
> >
> > Ist das korrekt?
> > Oder muss man mit [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> > arbeiten?
> > Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit zu
> > überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
>
>
> Setze diese Lösungen in das gegebene DGL-System ein.
>
>
Das habe ich gemacht und ich erhalte (hoffentlich frei von Rechenfehlern) die folgende Matrix:
[mm] \pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }
[/mm]
Aber was sagt mir das nun?
Grüße,
sytest
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Hallo sytest,
> Danke für die schnelle Reaktion :)
>
> > > Nun kommen wir zu meinem Problem: Wie bestimmte ich die
> > > Vektoren des Fundamentalsystems, bzw. welche der 3 Vektoren
> > > nutze ich nun um die Vektoren des Fundamentalsystems
> > > anzugeben?
> > > Mein erster Einfall war:
> > > [mm]y^{(1)}=e^{-x}*\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> >
> > > [mm]y^{(2)}=e^{-x}*(\vektor{1 \\ 0}+x*(A+E_{2})*\vektor{1 \\ 0})=e^{-x}*\vektor{1+x \\ 2*x}[/mm]
>
> >
> >
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]y^{(2)}=e^{-x}*(\vektor{1 \\ 0}+x*(A+E_{2})*\vektor{1 \\ 0})=e^{-x}*\vektor{1+\red{2}x \\ \red{4}*x}[/mm]
>
> >
> >
> Stimmt, an dieser Stelle sollte man aus [mm]\vektor{2 \\ 4}[/mm]
> nicht [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] machen...
> > >
> > > Ist das korrekt?
> > > Oder muss man mit [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> > > arbeiten?
> > > Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit zu
> > > überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
> >
> >
> > Setze diese Lösungen in das gegebene DGL-System ein.
> >
> >
> Das habe ich gemacht und ich erhalte (hoffentlich frei von
> Rechenfehlern) die folgende Matrix:
> [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }[/mm]
>
Das ist leider nicht frei von Rechenfehlern.
> Aber was sagt mir das nun?
>
> Grüße,
> sytest
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Di 05.07.2011 | | Autor: | sytest |
> > > > Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit
> zu
> > > > überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
> > >
> > >
> > > Setze diese Lösungen in das gegebene DGL-System ein.
> > >
> > >
> > Das habe ich gemacht und ich erhalte (hoffentlich frei von
> > Rechenfehlern) die folgende Matrix:
> > [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }[/mm]
>
> >
>
>
> Das ist leider nicht frei von Rechenfehlern.
>
>
Ich habe das FS nun für y(x) eingesetzt und erhalte auch mit technischen Hilfsmitteln das gleiche Ergebnis - wo liegt der Fehler?
> > Aber was sagt mir das nun?
> >
> > Grüße,
> > sytest
>
>
> Gruss
> MathePower
Danke vorab,
sytest
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Hallo sytest,
> > > > > Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit
> > zu
> > > > > überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
> > > >
> > > >
> > > > Setze diese Lösungen in das gegebene DGL-System ein.
> > > >
> > > >
> > > Das habe ich gemacht und ich erhalte (hoffentlich frei von
> > > Rechenfehlern) die folgende Matrix:
> > > [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Das ist leider nicht frei von Rechenfehlern.
> >
> >
> Ich habe das FS nun für y(x) eingesetzt und erhalte auch
> mit technischen Hilfsmitteln das gleiche Ergebnis - wo
> liegt der Fehler?
Das können wir erst sagen, wenn Du uns postet.
wie Du zu der Matrix gekommen bist.
> > > Aber was sagt mir das nun?
> > >
> > > Grüße,
> > > sytest
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Danke vorab,
> sytest
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Di 05.07.2011 | | Autor: | sytest |
> Hallo sytest,
>
> > > > > > Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit
> > > zu
> > > > > > überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Setze diese Lösungen in das gegebene DGL-System ein.
> > > > >
> > > > >
> > > > Das habe ich gemacht und ich erhalte (hoffentlich frei von
> > > > Rechenfehlern) die folgende Matrix:
> > > > [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }[/mm]
>
> >
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> > > >
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> > >
> > > Das ist leider nicht frei von Rechenfehlern.
> > >
> > >
> > Ich habe das FS nun für y(x) eingesetzt und erhalte auch
> > mit technischen Hilfsmitteln das gleiche Ergebnis - wo
> > liegt der Fehler?
>
>
> Das können wir erst sagen, wenn Du uns postet.
> wie Du zu der Matrix gekommen bist.
>
>
Achso entschuldige, ich dachte es ist klar wenn ich sage ich habe das FS für y(x) eingesetzt. Also, konkret gerechnet habe ich:
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 4 & -3 } [/mm] * [mm] \pmat{ e^{-x} & e^{-x}*(1+2*x) \\ 2*e^{-x} & e^{-x}*4*x} [/mm] = [mm] \pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }
[/mm]
Wobei der zweite Faktor aus den beiden errechneten Lösungen besteht, also [mm] y^{(1)} [/mm] und [mm] y^{(2)}
[/mm]
Grüße,
sytest
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Hallo sytest,
> > Hallo sytest,
> >
> > > > > > > Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit
> > > > zu
> > > > > > > überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Setze diese Lösungen in das gegebene DGL-System ein.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > Das habe ich gemacht und ich erhalte (hoffentlich frei von
> > > > > Rechenfehlern) die folgende Matrix:
> > > > > [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }[/mm]
>
> >
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> > > > Das ist leider nicht frei von Rechenfehlern.
> > > >
> > > >
> > > Ich habe das FS nun für y(x) eingesetzt und erhalte auch
> > > mit technischen Hilfsmitteln das gleiche Ergebnis - wo
> > > liegt der Fehler?
> >
> >
> > Das können wir erst sagen, wenn Du uns postet.
> > wie Du zu der Matrix gekommen bist.
> >
> >
> Achso entschuldige, ich dachte es ist klar wenn ich sage
> ich habe das FS für y(x) eingesetzt. Also, konkret
> gerechnet habe ich:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 4 & -3 }[/mm] * [mm]\pmat{ e^{-x} & e^{-x}*(1+2*x) \\ 2*e^{-x} & e^{-x}*4*x}[/mm]
> = [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }[/mm]
Das ist erst der rechte Teil des DGL-Systems.
Außerdem ist die zweite Zeile des Ergbenisse noch mit 2 zu multiplizieren.
>
> Wobei der zweite Faktor aus den beiden errechneten
> Lösungen besteht, also [mm]y^{(1)}[/mm] und [mm]y^{(2)}[/mm]
>
> Grüße,
> sytest
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:10 Mi 06.07.2011 | | Autor: | sytest |
> Hallo sytest,
>
> > > Hallo sytest,
> > >
> > > > > > > > Gibt es eine Möglichkeit ein FS auf Korrektheit
> > > > > zu
> > > > > > > > überprüfen (z.B. durch Einsetzen für y(x))?
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Setze diese Lösungen in das gegebene DGL-System ein.
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > Das habe ich gemacht und ich erhalte (hoffentlich frei von
> > > > > > Rechenfehlern) die folgende Matrix:
> > > > > > [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }[/mm]
>
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> > > >
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> > > > > Das ist leider nicht frei von Rechenfehlern.
> > > > >
> > > > >
> > > > Ich habe das FS nun für y(x) eingesetzt und erhalte auch
> > > > mit technischen Hilfsmitteln das gleiche Ergebnis - wo
> > > > liegt der Fehler?
> > >
> > >
> > > Das können wir erst sagen, wenn Du uns postet.
> > > wie Du zu der Matrix gekommen bist.
> > >
> > >
> > Achso entschuldige, ich dachte es ist klar wenn ich sage
> > ich habe das FS für y(x) eingesetzt. Also, konkret
> > gerechnet habe ich:
> > [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 4 & -3 }[/mm] * [mm]\pmat{ e^{-x} & e^{-x}*(1+2*x) \\ 2*e^{-x} & e^{-x}*4*x}[/mm]
> > = [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -e^{-x} & 2*e^{-x}-2*x*e^{-x} }[/mm]
>
>
> Das ist erst der rechte Teil des DGL-Systems.
>
> Außerdem ist die zweite Zeile des Ergbenisse noch mit 2 zu
> multiplizieren.
>
>
Zunächst die Korrektur der Matrizenmultiplikation:
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 4 & -3 } [/mm] * [mm] \pmat{ e^{-x} & e^{-x}*(1+2*x) \\ 2*e^{-x} & e^{-x}*4*x}
[/mm]
> > = [mm] \pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -2*e^{-x} & 4*e^{-x}-4*x*e^{-x} }
[/mm]
Ich nehme an ich muss nun noch die Ableitung dieser Matrix bestimmen, und diese dann mit dem Ergebnis der Multiplikation vergleichen?
Falls ja: Wie leite ich eine Funktion [mm] f:\IR->\IR^{2x2} [/mm] ab? Kann ich die Matrix einfach komponentenweise ableiten?
Danke und viele Grüße,
sytest
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Hallo sytest,
> Zunächst die Korrektur der Matrizenmultiplikation:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 4 & -3 }[/mm] * [mm]\pmat{ e^{-x} & e^{-x}*(1+2*x) \\ 2*e^{-x} & e^{-x}*4*x}[/mm]
>
> > > = [mm]\pmat{ -e^{-x} & e^{-x}-2*x*e^{-x} \\ -2*e^{-x} & 4*e^{-x}-4*x*e^{-x} }[/mm]
>
> Ich nehme an ich muss nun noch die Ableitung dieser Matrix
> bestimmen, und diese dann mit dem Ergebnis der
> Multiplikation vergleichen?
So ist es.
> Falls ja: Wie leite ich eine Funktion [mm]f:\IR->\IR^{2x2}[/mm] ab?
> Kann ich die Matrix einfach komponentenweise ableiten?
Ja.
>
> Danke und viele Grüße,
> sytest
>
Gruss
MathePower
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