Linearfaktorzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 So 01.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Die folgende Funktion soll mithilfe der Partialbruchzerlegung integriert werden. Es soll die Linearfaktorzerlegung verwendet werden: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{-4x}{x^{4}-2x^{3}-2x-1} dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe erstmal die reelen Nullstellen des Nenners bestimmt. Diese sind [mm] x_{1}=0,41 [/mm] und [mm] x_{2}=2,41. [/mm] Also der Beginn der Linearfaktorzerlegung müsste so sein: (x-0,41)*(x-2,41).... Nun weiß ich aber nicht weiter. Mit Polynomdivision komme ich hier meiner Meinung nach nicht voran. Mir fehlt das Wissen über die allgemeine Vorgehensweise bei der Linearfaktorzerlegung. Kann mir da jemand helfen?
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Hallo Owen,
> Die folgende Funktion soll mithilfe der
> Partialbruchzerlegung integriert werden. Es soll die
> Linearfaktorzerlegung verwendet werden:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-4x}{x^{4}-2x^{3}+2x+1} dx}[/mm]
> Hallo,
> ich habe erstmal die reelen Nullstellen des Nenners
> bestimmt. Diese sind [mm]x_{1}=0,41[/mm] und [mm]x_{2}=2,41.[/mm] Also der
> Beginn der Linearfaktorzerlegung müsste so sein:
> (x-0,41)*(x-2,41).... Nun weiß ich aber nicht weiter. Mit
> Polynomdivision komme ich hier meiner Meinung nach nicht
> voran. Mir fehlt das Wissen über die allgemeine
> Vorgehensweise bei der Linearfaktorzerlegung. Kann mir da
> jemand helfen?
Stimmt denn die Funktion [mm]x^{4}-2x^{3}+2x+1[/mm]?
Diese hat nämlich durchweg komplexe Nullstellen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 01.06.2008 | | Autor: | Owen |
Oh, habe versehentlich falsche Vorzeichen verwendet, habe ich nun umgeändert.
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Genau, du solltest zunächst immer bei einem Polynom vierten Grades die reellen Nullstellen bestimmen. Um Nullstellen zu bestimmen, kannst du mehrere Methoden anwenden:
- Graphischer GTR --> Nullstellen bestimmen lassen und dann versuchen die Dezimalzahlen wieder in mathematisch exakte Zahlen umzuwandeln.
- Absolutglied des Polynoms --> Oft sind bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten die Nullstellen Teiler des Absolutgliedes (also des Gliedes ohne "x") des Polynoms. Das sollte man immer vorher ausprobieren.
- "Offensichtlichkeit" --> Wenn x in allen Faktoren ist folgt Nullstelle 0, oder andere offensichtliche Lösungen. (Siehe unten  )
Wenn du nun Nullstellen bestimmt hast, bietet sich im Allgemeinen die Polynomdivision schon an, um das Polynom zu reduzieren. Du solltest dann durch die einzelnen Linearfaktoren teilen, die du mit Hilfe deiner schon bestimmten Nullstellen bilden kannst.
Bei deinem Nenner hier gibt es aber auch eine hübsche Umformung:
[mm]x^{4} - 2*x^{3} - 2x - 1[/mm]
[mm]= x^{4} - 2x*(x^{2}+1) - 1[/mm]
[mm]= (x^{4}-1) - 2x*(x^{2}+1)[/mm]
[mm]= (x^{2}-1)*(x^{2}+1) - 2x*(x^{2}+1)[/mm]
[mm]= (x^{2}+1)*(x^{2}- 2x - 1)[/mm]
Da kann man dann schnell auch die komplexen Nullstellen ablesen !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 01.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
danke für deine Antwort. Ich hätte noch eine Frage zur Polynomdivision. Ich habe sie durchgeführt und erhalte folgendes:
[mm] (x^{4}-2x^{3}-2x-1)/(x+0,41)=x^{3}-2,41x²+0,9881x+2+\bruch{x+0,41}{-0,41}
[/mm]
[mm] -(x^{4}+0,41x^{3})
[/mm]
---------------------------
[mm] -2,41x^{3}-2x
[/mm]
- [mm] (-2,41x^{3}-0,9881x²)
[/mm]
---------------------------------------
0,9881x²-2x
- (0,9881x²+0,41)
----------------------------------------------
2x+0,41
- (2x+0,82)
-------------------------------------------------
-0,41
Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe. Wie würde mir nun dieses Ergebnis weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Owen!
Das hilft Dir so überhaupt nicht weiter, da diese Polynomdivision aufgehen muss. du musst als irgendwo einen Fehler gemacht haben.
Aber beser ist, Du führst die Polynomdivision mit [mm] $\left[x-\left(1-\wurzel{2} \ \right)\right]*\left[x-\left(1+\wurzel{2} \ \right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2-2x-1\right)$ [/mm] durch.
Zudem wurde Dir dieses Ergebnis der Polynomdivision weiter oben schon "verraten" mit [mm] $x^2+1$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 So 01.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Loddar,
vielen Dank für deinen Tipp, habs jetzt raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Owen!
Da liegt wohl ein Vorzeichenfehler vor bei den Nullstellen. Diese lauten:
[mm] $$x_1 [/mm] \ = \ [mm] 1-\wurzel{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ 0.41$$
[mm] $$x_2 [/mm] \ = \ [mm] 1+\wurzel{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 2.41$$
Gruß
Loddar
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