Linearfaktorzerlegung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Fr 11.02.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo,
Sitze gerade an folgender Aufgabe, die recht leicht erscheint. Jedoch bin ich iwie drin stecken geblieben. Hier die Aufgabe:
Zerlegen sie folgendes Polynom [mm] x^4+2x^2+4 [/mm] in Linearfaktoren in C[X]
Meine Vorgehensweise:
Zunächst habe ich durch [mm] z=x^2 [/mm] substituiert. Somit erhielt ich [mm] z_1= [/mm] -1 + [mm] \bruch{\wurzel{12}i}{2} [/mm] und [mm] z_2= [/mm] -1 - [mm] \bruch{\wurzel{12}i}{2}. [/mm] Somit ergeben sich 4 Nullstellen [mm] x_1= \wurzel{-1 + \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, x_2= [/mm] - [mm] \wurzel{-1 + \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, x_3= \wurzel{-1 - \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, [/mm] und [mm] x_4= [/mm] - [mm] \wurzel{-1 - \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, [/mm] Ok wie geht es nun weiter?
Man weiß, dass -1 + [mm] \bruch{\wurzel{12}i}{2} \in [/mm] {a+ib, -a-ib} Also gilt [mm] (a+ib)^2 [/mm] = -1 + [mm] \bruch{\wurzel{12}i}{2} [/mm] Das löst man auf und erhält werte für a und b.
Meine Fragen: was bringen mir diese Werte für a und b? Muss ich das ganze dann auch noch für alle anderen Nullstellen [mm] x_2 [/mm] bis [mm] x_4 [/mm] machen, oder reicht es das für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] zu machen? Und wie sieht dann die konkrete Linearfaktorzerlegung des Polynoms aus?
Ich hoffe ich habe es so verständlich wie möglich ausgedrückt und dass mir irgendjemand von euch weiterhelfen kann 
Viele Grüße
jacob
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
> Sitze gerade an folgender Aufgabe, die recht leicht
> erscheint. Jedoch bin ich iwie drin stecken geblieben. Hier
> die Aufgabe:
> Zerlegen sie folgendes Polynom [mm]x^4+2x^2+4[/mm] in
> Linearfaktoren in C[X]
>
> Meine Vorgehensweise:
> Zunächst habe ich durch [mm]z=x^2[/mm] substituiert. Somit erhielt
> ich [mm]z_1=[/mm] -1 + [mm]\bruch{\wurzel{12}i}{2}[/mm] und [mm]z_2=[/mm] -1 -
> [mm]\bruch{\wurzel{12}i}{2}.[/mm]
Wenn Du die Substitution [mm] $z=x^2$ [/mm] durchfuehrst, so hast Du doch die Gleichung
[mm] $z^2+2z+4$
[/mm]
Die Nullstellen dieser Gleichung lauten
[mm] $z_1=-1+\sqrt{3}i$
[/mm]
[mm] $z_2=-1-\sqrt{3}i$. [/mm]
Um nun auf die gesuchten Nullstellen [mm] $x_1,x_2,x_3,x_4$ [/mm] Deines Ausgangspolynoms [mm] $x^4+2x^2+4$ [/mm] zu kommen, musst Du Deine Substitution hernehmen und diese loesen, d.h. (da Du nun $z$ kennst) loese die beiden Gleichungen
[mm] $x^2=-1+\sqrt{3}i$ $(\overset{!}{=}z_1)$
[/mm]
[mm] $x^2=-1-\sqrt{3}i$ $(\overset{!}{=}z_2)$
[/mm]
Dies liefert Dir jeweils 2 Loesungen. Fuer die erste Gleichung sind dies
[mm] $x_1=\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i$
[/mm]
[mm] $x_2=-\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i$
[/mm]
und fuer die zweite Gleichung
[mm] $x_3=\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i$
[/mm]
[mm] $x_4=-\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i$
[/mm]
Damit hast Du Deine Nullstellen bestimmt. Die Darstellung in Linearfaktoren sieht dann wie folgt aus
[mm] $x^4+2x^2+4=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$
[/mm]
Fertig.
> Somit ergeben sich 4 Nullstellen
> [mm]x_1= \wurzel{-1 + \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, x_2=[/mm] -
> [mm]\wurzel{-1 + \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, x_3= \wurzel{-1 - \bruch{\wurzel{12}i}{2}},[/mm]
> und [mm]x_4=[/mm] - [mm]\wurzel{-1 - \bruch{\wurzel{12}i}{2}},[/mm] Ok wie
> geht es nun weiter?
> Man weiß, dass -1 + [mm]\bruch{\wurzel{12}i}{2} \in[/mm] {a+ib,
> -a-ib} Also gilt [mm](a+ib)^2[/mm] = -1 + [mm]\bruch{\wurzel{12}i}{2}[/mm]
> Das löst man auf und erhält werte für a und b.
> Meine Fragen: was bringen mir diese Werte für a und b?
> Muss ich das ganze dann auch noch für alle anderen
> Nullstellen [mm]x_2[/mm] bis [mm]x_4[/mm] machen, oder reicht es das für [mm]x_1[/mm]
> und [mm]x_3[/mm] zu machen? Und wie sieht dann die konkrete
> Linearfaktorzerlegung des Polynoms aus?
> Ich hoffe ich habe es so verständlich wie möglich
> ausgedrückt und dass mir irgendjemand von euch
> weiterhelfen kann
> Viele Grüße
> jacob
Besten Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Fr 11.02.2011 | | Autor: | jacob17 |
>
> [mm]x_1=\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>
> [mm]x_2=-\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>
> und fuer die zweite Gleichung
>
> [mm]x_3=\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>
> [mm]x_4=-\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>
> Damit hast Du Deine Nullstellen bestimmt. Die Darstellung
> in Linearfaktoren sieht dann wie folgt aus
>
> [mm]x^4+2x^2+4=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)[/mm]
>
Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Nun ist mir aber noch nicht ganz klar wie du die Ergebnisse für [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_4 [/mm] umgeformt hast damit du auf diese Linearfaktorzerlegung gekommen bist?
Viele Grüße
jacob
|
|
|
| |
|
> >
> >
> [mm]x_1=\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
> >
> >
> [mm]x_2=-\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
> >
> > und fuer die zweite Gleichung
> >
> >
> [mm]x_3=\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
> >
> >
> [mm]x_4=-\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
> >
> > Damit hast Du Deine Nullstellen bestimmt. Die Darstellung
> > in Linearfaktoren sieht dann wie folgt aus
> >
> > [mm]x^4+2x^2+4=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)[/mm]
> >
> Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Nun ist
> mir aber noch nicht ganz klar wie du die Ergebnisse für
> [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_4[/mm] umgeformt hast damit du auf diese
> Linearfaktorzerlegung gekommen bist?
>
> Viele Grüße
> jacob
Hallo Jacob,
das geht z.B. ganz nett mittels Polardarstellung ("schöne" Winkel !)
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Fr 11.02.2011 | | Autor: | jacob17 |
Davon hab' ich schon was gehört. Aber wie funktioniert das genau in diesem Beispiel?
jacob
|
|
|
| |
|
Hallo jacob17,
> Davon hab' ich schon was gehört. Aber wie funktioniert das
> genau in diesem Beispiel?
[mm]x^{4}+2*x^{2}+4=0 \gdw \left(x^{2}+1\right)^{2}=-3[/mm]
Stellt man die -3 in Exponentialform dar, so ist:
[mm]-3=3*e^{i*\pi}=3*\cos\left(\pi\right)+i*3*\sin\left(\pi\right)[/mm]
Danach gilt:
[mm]\left(x^{2}+1\right)^{2}=3*e^{i*\pi}[/mm]
Woraus sich die Lösungen für [mm]x^{2}[/mm] ergeben:
[mm]x^{2}=\wurzel{3}*e^{i*\bruch{\pi+2*k*\pi}{2}}-1, \ k=0,1[/mm]
bzw.
[mm]x^{2}=-1 \pm i*\wurzel{3}[/mm]
Nun bringst Du die rechte Seite wieder in Exponentialform
und ermittelst dann die Lösungen aus
[mm]x^{2}=r*e^{i*\phi_{l}} , \ l=0,1[/mm]
> jacob
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Fr 11.02.2011 | | Autor: | jacob17 |
Wow tolle Erklärung ;) Vielen Dank
jacob
|
|
|
|
