Linearisierung einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Fr 01.10.2010 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | Begründen Sie im Rahmen des Linearisierungskonzeptes die Näherungsformel und entscheiden Sie, ob Sie gut gewählt ist:
1/(1-x) [mm] \approx [/mm] 1+x für kleine |x| |
Hallo,
das Linearisierungskonzept sagt doch folgendes aus:
f(x0+h) [mm] \approx [/mm] f(x0) + f'(x0)*h
Bei der Aufgabe habe ich mir überlegt, dass f(x) = -1/x ist, mit x0=-1
Dann gilt es zu zeigen:
f(-1+h) [mm] \approx [/mm] f(-1) + f'(-1)*h
also:
-1/(-1+h) [mm] \approx [/mm] -1/-1 + 1/1 *h
<--> 1/(1-h) [mm] \approx [/mm] 1+h
<--> 1 [mm] \approx [/mm] (1+h)*(1-h)
<--> 1 [mm] \approx 1+1-h^2
[/mm]
<--> 1 [mm] \approx [/mm] 2 - [mm] h^2
[/mm]
Stimmt mein Gedankengang? - Demnach wäre es doch eine schlechte Approximierung. Ich bin mir nur nicht sicher, ob meine Schritte alle so richtig im Bezug auf das Linearisierungskonzept sind.
Viele Grüße und Danke fürs Helfen
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. Was zum Henker ist "das Linearisierungskonzept"? Nie davon gehört.
2. Ist mir nicht ganz klar, was Du zeigen willst.
> Bei der Aufgabe habe ich mir überlegt, dass f(x) = -1/x
> ist, mit x0=-1
???
f(x) ist doch gegeben: [mm] $f(x)=\frac1{1-x}$
[/mm]
und [mm] $x_0$ [/mm] ist auch gegeben: "kleine |x|", d.h. [mm] $x_0=0$
[/mm]
Die logische Anlaufstelle für Linearisierung von Funktionen sind die ersten zwei Terme der Taylorreihe, also
[mm] $f(0+h)\approx [/mm] f(0)+f'(0)*h$
Und an der Stelle weiß ich jetzt nicht, wie tief Du in der Materie bist. Akzeptiert Ihr, daß diese Approximation für kleine |h| brauchbare Werte liefert, dann willst Du jetzt zeigen, daß die angegebene Approximation 1+x, den Termen aus der Taylorreihe entspricht, also:
$1+h = f(0)+ f'(0)*h$
$f(0)=1$, $f'(0)=1$, d.h. ja.
Oder geht es darum zu zeigen, daß die Taylorformel hier eine brauchbare Approximation liefert, dann müßtest Du schauen, ob
[mm] $\left| f(h)-(1+h)\right|$ [/mm]
für kleine $|h|$ ausreichend schnell gegen 0 konvergiert. Ich hab aber keine Ahnung, was ihr unter "ausreichend schnell" verstehen würdet. (vielleicht eine Überprüfung, ob die Taylorformel anwendbar ist? D.h. ist das Restglied [mm] $O(h^2)$?)
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 01.10.2010 | | Autor: | StefanK. |
Hey,
oh man, ich bin heute echt ein bisschen überfordert. Du hast natürlich vollkommen recht. Deine Herangehensweise macht vollkommen Sinn.
Zu deiner Frage: wir müssen noch überprüfen, ob das Restglied auch gegen 0 geht, also r(h)/h =0?!
Vielen Dank für deine Hilfe
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Zu deiner Frage: wir müssen noch überprüfen, ob das
> Restglied auch gegen 0 geht, also r(h)/h =0?!
Jo, dann sag mir mal, was das Restglied ist. =)
ciao
Stefan
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