Linearität bed. E-Werte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:41 Di 13.10.2009 | | Autor: | jerifak |
| Aufgabe | | Beweis von E(aX+bY|Z)=aE(X|Z)+bE(Y|Z) |
Hi!
Bräuchte hier bitte einen Tipp.
Ich habe mir das Problem erstmal in zweite Schritte geteilt, wobei der Erste ganz gut klappt denke ich:
[mm] E(aX|Z)=\integral{ax*f_{X|Z}(x|z)dx}=a\integral{x*f_{X|Z}(x|z)dx}=aE(X).
[/mm]
Bleibt E(X+Y|Z)=E(X|Z)+E(Y|Z) zu zeigen.
Da X+Y ja einfach eine neue Zufallsvariable ist:
[mm] E(X+Y|Z)=\integral{(x+y)f_{(X+Y)|Z} ((x+y)|z) d(x+y)} [/mm] = [mm] \integral{x f_{(X+Y)|Z} ((x+y)|z) d(x+y)} +\integral{y f_{(X+Y)|Z} ((x+y)|z) d(x+y)}
[/mm]
Und nun sehe ich keine Umformung die mir weiterhilft, wobei ich nicht davon ausgehe dass hier ein besonders schwerer Trick hintersteckt...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 13.10.2009 | | Autor: | jerifak |
Finde die Edit-Funktion nicht, daher so:
...=aE(X|Z) soll es im ersten Schritt natürlich heißen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Di 13.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweis von E(aX+bY|Z)=aE(X|Z)+bE(Y|Z)
>
> Bräuchte hier bitte einen Tipp.
>
> Ich habe mir das Problem erstmal in zweite Schritte
> geteilt, wobei der Erste ganz gut klappt denke ich:
>
> [mm]E(aX|Z)=\integral{ax*f_{X|Z}(x|z)dx}=a\integral{x*f_{X|Z}(x|z)dx}=aE(X|Z).[/mm]
Hier hast du schon ein Problem: eigentlich sollte da ja $E(aX|Z) = [mm] \int [/mm] t * [mm] f_{aX|Z}(t|z) [/mm] dt$ oder sowas stehen. (Die Variable $t$ als $ax$ zu bezeichnen ist etwas ungeschickt, da $ax$ anders interpretiert wird.) Da musst du jetzt das $a$ rausbekommen.
> Bleibt E(X+Y|Z)=E(X|Z)+E(Y|Z) zu zeigen.
> Da X+Y ja einfach eine neue Zufallsvariable ist:
>
> [mm]E(X+Y|Z)=\integral{(x+y)f_{(X+Y)|Z} ((x+y)|z) d(x+y)}[/mm] =
> [mm]\integral{x f_{(X+Y)|Z} ((x+y)|z) d(x+y)} +\integral{y f_{(X+Y)|Z} ((x+y)|z) d(x+y)}[/mm]
Hier wird das ganze auch nicht besser; die Integrationsvariable als $x + y$ zu bezeichnen ist keine gute Idee. Vor allem dann ploetzlich das auseinanderzuziehen.
Ich denke du musst mit einer anderen Darstellung des bedingten Erwartungswertes arbeiten. Da ich nicht weiss wie ihr das in der Vorlesung oder Uebung definiert habt, kann ich dir da nicht wirklich weiterhelfen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 17.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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