Linearität zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Sei F:V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung und V,W wie üblich zwei endlich dimensionale K-Vektorräume. Ist f: W [mm] \to [/mm] K eine lineare Abbildung, so auch die Verknüpfung f [mm] \circ [/mm] F, d.h. f [mm] \circ [/mm] F [mm] \in [/mm] Hom(V,K).
Deshalb können wir eine Abbildung:
F*:Hom(W,K) [mm] \to [/mm] Hom(V,K)
als F*(f):= f [mm] \circ [/mm] F
definieren.
(1.a) Wann heißt eine Abbildung G: Hom(W,K) [mm] \to [/mm] Hom(V,K) linear ?
Geben Sie die Definition an.
(1.b) Lesen Sie die Definition aus (a) noch einmal und geben Sie für alle auftretenden Terme in Worten an, um was für Objekte es sich handelt und geben Sie kurz an was "=" für die auftretenden Objekte bedeutet.
(1.c) Zeigen Sie, dass die Abbildung F*:Hom(W,K) [mm] \to [/mm] Hom(V,K) linear ist.
(2.a) Was ist ker(F*) ? Geben Sie die Definition an. Was bedeutet "=0" in dieser Definition ? Geben Sie an, in welcher Menge diese "0" ein Element ist. Falls diese Menge eine Menge von Abbildungen ist, geben Sie die Abbildungsvorschrift für das Element 0 an.
(2.b) Sei [mm] N:=\{f \in Hom(V,K) | f(w)=0 für alle w\in Im(F) \}. [/mm] Formulieren Sie diese Definition der Menge N in Worten.
(2.c) Zeugen Sie, dass N=ker(F*) ist. |
Ich habe bei dieser Aufgabe ziemlich große verständnis Probleme.
Deswegen wäre es echt super, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Beginnend bei (1.a):
Allgemein gilt ja, eine Abbildung heißt linear wenn folgendes gilt:
Eine Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W zwischen den K-Vektorräumen V und W heißt linear, wenn gilt:
(i) f(v+v´) = f(v)+f(v´)
(ii) [mm] f(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] f(v)
für alle v,v´ [mm] \in [/mm] V und allen [mm] \lambda \in [/mm] K
Diese Definition müsste ich nun auf meine Abbidlung übertragen.
Also Hom(W,K) [mm] \to [/mm] Hom(V,K) heißt linear, wenn für alle v,v´ [mm] \in [/mm] V gilt:
tja und hier weiss ich schon nicht weiter. Ich hab ja keine konkrete Abbildung gegeben. Wie soll ich also die Definition formulieren ?
Mfg. Der Frosch
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Hallo Frosch20,
etwas spät zwar, aber ich habe deine Frage gerade erst entdeckt:
> Sei F:V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung und V,W wie üblich
> zwei endlich dimensionale K-Vektorräume. Ist f: W [mm]\to[/mm] K
> eine lineare Abbildung, so auch die Verknüpfung f [mm]\circ[/mm] F,
> d.h. f [mm]\circ[/mm] F [mm]\in[/mm] Hom(V,K).
> Deshalb können wir eine Abbildung:
>
> F*:Hom(W,K) [mm]\to[/mm] Hom(V,K)
>
> als F*(f):= f [mm]\circ[/mm] F
>
> definieren.
>
> (1.a) Wann heißt eine Abbildung G: Hom(W,K) [mm]\to[/mm] Hom(V,K)
> linear ?
> Geben Sie die Definition an.
>
> (1.b) Lesen Sie die Definition aus (a) noch einmal und
> geben Sie für alle auftretenden Terme in Worten an, um was
> für Objekte es sich handelt und geben Sie kurz an was "="
> für die auftretenden Objekte bedeutet.
>
> (1.c) Zeigen Sie, dass die Abbildung F*:Hom(W,K) [mm]\to[/mm]
> Hom(V,K) linear ist.
>
> (2.a) Was ist ker(F*) ? Geben Sie die Definition an. Was
> bedeutet "=0" in dieser Definition ? Geben Sie an, in
> welcher Menge diese "0" ein Element ist. Falls diese Menge
> eine Menge von Abbildungen ist, geben Sie die
> Abbildungsvorschrift für das Element 0 an.
>
> (2.b) Sei [mm]N:=\{f \in Hom(V,K) | f(w)=0 für alle w\in Im(F) \}.[/mm]
> Formulieren Sie diese Definition der Menge N in Worten.
>
> (2.c) Zeugen Sie, dass N=ker(F*) ist.
> Ich habe bei dieser Aufgabe ziemlich große verständnis
> Probleme.
> Deswegen wäre es echt super, wenn mir jemand dabei helfen
> könnte.
>
> Beginnend bei (1.a):
>
> Allgemein gilt ja, eine Abbildung heißt linear wenn
> folgendes gilt:
>
> Eine Abbildung f:V [mm]\to[/mm] W zwischen den K-Vektorräumen V und
> W heißt linear, wenn gilt:
>
> (i) f(v+v´) = f(v)+f(v´)
> (ii) [mm]f(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda[/mm] f(v)
>
> für alle v,v´ [mm]\in[/mm] V und allen [mm]\lambda \in[/mm] K
>
> Diese Definition müsste ich nun auf meine Abbidlung
> übertragen.
>
> Also Hom(W,K) [mm]\to[/mm] Hom(V,K) heißt linear, wenn für alle
> v,v´ [mm]\in[/mm] V gilt:
>
> tja und hier weiss ich schon nicht weiter. Ich hab ja keine
> konkrete Abbildung gegeben. Wie soll ich also die
> Definition formulieren ?
Na, was sind denn die Vektoren hier bei dir?
Es sind Homomorphismen, also Abbildungen.
[mm]F^{\star}[/mm] heißt linear, falls für alle [mm]f,g\in Hom(W,K)[/mm] und alle [mm]\lambda\in K[/mm] gilt:
[mm]F^{\star}(f+g)=F^{\star}(f)+F^{\star}(g)[/mm] und
[mm]F^{\star}(\lambda\cdot{}f)=\lambda\cdot{}F^{\star}(f)[/mm]
Was bedeuten die "=" ?
Welche Elemente haben wir linkerhand und rechterhand genau?
> Mfg. Der Frosch
Gruß
schachuzipus
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