Linearität zeigen und M(L) bst < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper, M [mm] \in K^{2x2} [/mm] und L : [mm] K^{2x2} \to K^{2x2} [/mm] erklärtdurch die Zuordnungsvorschrift: L(X) = MX für X [mm] \in K^{2x2}
[/mm]
a) Zeige: L ist linear
b) Sei M = [mm] \vmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }, [/mm] Bestimme Kern L und [mm] dim_{K}(Bild [/mm] L)
c) Sei K = [mm] (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) [/mm] die kanonische Basis von [mm] K^{2x2}. [/mm] Bestimmte [mm] M_{K}^{K}(L) [/mm] |
Was genau muß ich bei den einzelnen Sachen machen?
Bei a muß ich doch nur die 2 Bedingungen nachrechnen oder?
(1) : L(v) + L(v') = L(v+v')
(2) : L(av) = aL(v)
Und dann stimmt das oder?
und bei b) ? Der Kern L ist doch die Lösungsmenge von L(X) = 0 oder?
c) hier weiß ich leider gar nicht was ich tun muß , wäre für jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> Bei a muß ich doch nur die 2 Bedingungen nachrechnen oder?
> (1) : L(v) + L(v') = L(v+v')
> (2) : L(av) = aL(v)
> Und dann stimmt das oder?
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> und bei b) ? Der Kern L ist doch die Lösungsmenge von L(X) = 0 oder?
Ja richtig. Eingesetzt also die Menge der Matrizen $X$ mit $MX=0$.
> c) hier weiß ich leider gar nicht was ich tun muß , wäre für jede Hilfe dankbar.
Es ist [mm] $E_{11}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}$, $E_{12}=\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}$, $E_{21}=\pmat{0 & 0 \\ 1 & 0}$, $E_{22}=\pmat{0 & 0 \\ 0 & 1}$. [/mm] Offensichtlich lässt sich jede Matrix als Linearkombination von [mm] $E_{11},E_{12}, E_{21}$ [/mm] und [mm] $E_{22}$ [/mm] darstellen; ferner sind [mm] $E_{11},E_{12}, E_{21}$ [/mm] und [mm] $E_{22}$ [/mm] linear unabhängig, sie bilden folglich eine Basis von [mm] $\IK^{2\times 2}$. [/mm]
Gesucht ist nun die Darstellungsmatrix von $L$ bzgl. dieser Basis. Dazu bestimmst du die Bilder [mm] $L(E_{11}),L(E_{12}),L(E_{21}), L(E_{22})$ [/mm] und stellst diese als Linearkombination von [mm] $E_{11},E_{12}, E_{21}$ [/mm] und [mm] $E_{22}$ [/mm] dar. Die Koeffizienten dieser Linearkombinationen bilden dann die Einträge der gesuchten Darstellungsmatrix.
Hilft dir das?
Liebe Grüße,
Hanno
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