Linearkombination < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Di 22.03.2005 | | Autor: | sYrox |
Hi,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Linearkombination für den Vektor d, wenn:
I. r + s -2t = 3
II. 2r + t = -2
III. -r - s = 3. d-Wert
Da es mehr Variablen als Gleichungen gibt kann man für eine von ihnen einen beliebigen Wert einsetzen.
Wir haben im Unterricht für t den Wert 2 gewählt.
Warum bekommt man bei einem anderen Wert für die Variable auch eine andere Linearkombination für d ?
Wie handhabt man soetwas in einer Klausur ?
Freue mich auf schnelle Antworten und vielen Dank im Voraus !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
// MfG sYrox
|
|
| |
|
Hi, sYrox,
> Linearkombination für den Vektor d, wenn:
>
> I. r + s -2t = 3
> II. 2r + t = -2
> III. -r - s = 3. d-Wert
Was meinst Du denn mit "d-Wert"?
Ich nehme mal an; dein Ansatz hat vektoriell so ausgesehen:
[mm] r*\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] t*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
>
> Da es mehr Variablen als Gleichungen gibt kann man für eine
> von ihnen einen beliebigen Wert einsetzen.
Wie kommst Du den darauf??!! Du hast 3 Variable (r, s und t) und auch 3 Gleichungen! Die 3 Vektoren auf der linken Seite sind zudem linear unabhängig (ich hab's nachgeprüft!). Darum ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar!
> Wir haben im Unterricht für t den Wert 2 gewählt.
Das geht hier nicht! Addiere mal (I) + (III). Dann erhältst Du: -2t = 6; t=-3.
Weiter kriegst Du: r=0,5 und s = -3,5
Nennen wir die Vektoren auf der linken Seite [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] so hast Du nun die eindeutige Darstellung von [mm] \vec{d} [/mm] als Linearkombination dieser 3 Vektoren:
[mm] 0,5*\vec{a} -3,5*\vec{b} -3*\vec{c} [/mm] = [mm] \vec{d} [/mm]
> Warum bekommt man bei einem anderen Wert für die Variable
> auch eine andere Linearkombination für d ?
Ich kann mir nur vorstellen, dass Ihr in der Schule ein Beispiel gerechnet habt, bei dem alle 4 Vektoren parallel zu einer gemeinsamen Ebene lagen.
Dann gibt es nämlich unendlich viele Lösungen der Aufgabe.
> Wie handhabt man soetwas in einer Klausur ?
In diesem Fall (also nicht in Deinem obigen Beispiel!!)
musst Du eigentlich die andern Konstanten (z.B. r und s) durch die dritte (also dann t) ausdrücken.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Di 22.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo sYrox
ich würde einfach mit dem Wert d so rechnen, als wäre es eine gegebene, feste Grösse. Das Gleichungssystem heisst dann:
$r+s-2t=3_$
$2r+t=-2_$
$-r-s=d_$
Dieses Gleichungssystem kannst du auflösen, als ob $d_$ gegeben wäre.
Wenn du das versuchst, solltest du erhalten:
[mm] $r=\bruch{d-1}{4}$
[/mm]
[mm] $s=\bruch{1-5d}{4}$
[/mm]
[mm] $t=\bruch{-d-3}{2}$
[/mm]
Eine kurze Ueberprüfung zeigt, dass alle drei Gleichungen erfüllt sind!
Als nochmals: betrachte einfach das $d_$ als gegeben, und löse das Gleichungssystem so auf, wie du es tun würdest, wenn für d eine feste Zahl eingesetzt wäre.
Vielleicht im ersten Schritt (die andern machst du aber bitte selber):
Das Doppelte der 1. Gleichung zur negativen 2. Gleichung addieren, und die 1. Gleichung zur 3. Gleichung addieren, ergibt:
$r+s-2t=3_$
$2s-5t=8_$
$-2t=d+3_$
Und so weiter...
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 23.03.2005 | | Autor: | aust |
Hallo,
bei weiteren Überlegungen und Betrachtung der Aufgabe, drängten sich mir noch einige Fragen auf:
1. Möglicherweise Fehler bei der Aufgabe, (nur bei den Zahlenwerten)
Die Geradengleichung g lautet:
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2 \wurzel{2} }; [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
Wenn es nun mehrere Punkte mit dem Abstand d=4 vom Ursprung gibt, die auf einer Geraden liegen sollen, können dies maximal zwei sein und die Gerade muss durch den Ursprung gehen?
Ist diese Schlussfolgerung richtig?
Dann kann diese Aufgabe nicht gelöst werden, da O(0|0|0) nicht auf der Geraden g liegt, oder??
2. Weiterer Lösungsansatz:
| [mm] \overrightarrow{0F} [/mm] = [mm] \wurzel [/mm] { [mm] (-3+t)^2 [/mm] + [mm] (3-t)^2 [/mm] + (2* [mm] \wurzel {2})^2 [/mm] }
Man nimmt also einen Punkt F (noch mit Parameterwerten) auf der Geraden und bestimmt von der Funktion oben, den kürzesten Abstand, also das Minimun, erhält einen t-Wert, berechnet über die Geradengleichung den Punkt F genau und spiegelt diesen an O(0|0|0).
Vielen Dank für die Hilfe!
Gruß
rt
|
|
|
| |
|
Hallo!
Zu 1.: Ja, die Aussage ist richtig, es gibt maximal 2 Punkte auf einer Geraden, die den gleichen Abstand vom Ursprung haben.
Das kann man sich darüber erklären, daß ja alle Punkte mit Abstand z.B. 4 vom Ursprung auf der Kugel um den Ursprung mit demselben Radius liegen.
Berührt die Gerade die Kugel dagegen, so gint es nur einen Punkt, schneidet sie sie Kugel gar nicht, gibt es eben keinen.
Daran kann man sehen, daß dazu die Gerade auch nicht unbedingt durch den Ursprung gehen muß.
Wenn sie das aber tut, so gibt es immer 2 Schnittpunkte.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo aust,
> 1. Möglicherweise Fehler bei der Aufgabe, (nur bei den
> Zahlenwerten)
> Die Geradengleichung g lautet:
>
> [mm]\overrightarrow{x} = \vektor{-3 \\ 3 \\ 0}+ t *\vektor{1 \\ -1 \\ 2 \wurzel{2} }[/mm] , [mm]t \in \IR[/mm]
>
> Wenn es nun mehrere Punkte mit dem Abstand d=4 vom Ursprung
> gibt, die auf einer Geraden liegen sollen, können dies
> maximal zwei sein und die Gerade muss durch den Ursprung
> gehen?
>
> Ist diese Schlussfolgerung richtig?
> Dann kann diese Aufgabe nicht gelöst werden, da O(0|0|0)
> nicht auf der Geraden g liegt, oder??
Zu diesem "Schluß" hat ja Christian bereits etwas geschrieben.
Allerdings ist Deine Aussage, daß die Gerade durch den Ursprung gehen muß, nicht richtig!
Schließlich kann die die Gerade auch am Ursprung vorbei durch die (von Christian angesprochene) Kugel mit dem Radius r=4 verlaufen ...
> 2. Weiterer Lösungsansatz:
> [mm]| \overrightarrow{0F} | = \wurzel{(-3+t)^2 + (3-t)^2 + (2* \wurzel {2})^2}[/mm]
>
> Man nimmt also einen Punkt F (noch mit Parameterwerten) auf
> der Geraden und bestimmt von der Funktion oben, den
> kürzesten Abstand, also das Minimun, erhält einen t-Wert,
> berechnet über die Geradengleichung den Punkt F genau und
> spiegelt diesen an O(0|0|0).
Dieser Ansatz gefällt mir schon ganz gut. Aber warum so kompliziert mit Extremalberechnung und Spiegelung??
Da Du ja die Länge des Vektors [mm] $\overrightarrow{OF}$ [/mm] mit d=4 bereits vorgegeben hast, brauchst Du doch lediglich den o.g. Wurzelausdruck mit dieser Länge gleichsetzen und dann diese Gleichung nach $t$ auflösen.
Damit erhältst Du auch automatisch Deine (max.) zwei Lösungen für $t$.
[mm] $\left| \overrightarrow{OF} \right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{(-3+t)^2 + (3-t)^2 + \left(0-2\wurzel {2}\right)^2} [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] \red{4}$
[/mm]
Allerdings erhalte ich für dieses Zahlenbeispiel keine Lösungen in [mm] $\IR$ [/mm] (wenn ich mich nicht verrechnet haben sollte).
Diese Gerade streicht also viel zu weit weg am Ursprung vorbei ...
Gruß
Loddar
|
|
|
|
