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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 30.05.2013 | | Autor: | lisa1312 |
| Aufgabe 1 | Gegeben seien die Vektoren
[mm] \overrightarrow{v1} [/mm] = (1; a; 0);
[mm] \overrightarrow{v2} [/mm] = (0; 0; 1);
[mm] \overrightarrow{v3}= [/mm] (2; 2; c);
[mm] \overrightarrow{b}= [/mm] (b1; b2; b3):
Unter welchen Bedingungen kann der [mm] \overrightarrow{b} [/mm] als Linearkombination der [mm] \overrightarrow{v1} \overrightarrow{v2} \overrightarrow{v3}
[/mm]
dargestellt werden , sodass
x1 [mm] \overrightarrow{v1} [/mm] +x2 [mm] \overrightarrow{v2} [/mm] +x3 [mm] \overrightarrow{v3}= \overrightarrow{b}
[/mm]
(a) Schreiben Sie das Problem als lineares Gleichungssystem A*x [mm] =\overrightarrow{b}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Unter welcher Bedingung gibt es eine eindeutige Darstellung des [mm] \overrightarrow{b} [/mm] als Linearkombination
Unter welcher Bedingung gibt es keine solche Darstellung?
Unter welcher Bedingung gibt es mehrere solcher Darstellungen? |
| Aufgabe 3 | Wie groß ist in diesen Fällen jeweils der Rang der Systemmatrix A und der erweiterten
Matrix (A;b)?
In welchem Fall stellen die Vektoren [mm] \overrightarrow{v1} \overrightarrow{v2} \overrightarrow{v3} [/mm] Basis des R3 dar? |
| Aufgabe 4 | | Wir betrachten den Fall, in dem obige Darstellung eindeutig ist. Wie lauten in diesem Fall die Koeffizienten x1, x2, x3? |
Hi, ich versuche die oben genannten Aufgaben zu lösen und weiß leider nicht, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Bis jetzt habe ich einfach das LGS aufgestellt und die möglichen Lösungen ermittelt.
[mm] 1)\pmat{ 1 & 0 & 2 | b1 \\ a & 0 & 2 | b2\\ 0 & 1 & c | b3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 2 | b1 \\ 0 & 1& c | b3\\ a & 0 & 2 | b2} [/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 2 | b1 \\ 0 & 1 & c | b2\\ 0 & 0 & 2-2a| b2-b1a}
[/mm]
2) Die möglichen Lösungen des LGS sind doch gleichzeitig die möglichen Darstellungen der Linearkombination, oder ?
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 | b1 \\ 0 & 1 & c | b2\\ 0 & 0 & 2-2a| b2-b1a}
[/mm]
- wenn a=1 und [mm] b\not= [/mm] 0, dann hat das System keine Lösung
- wenn [mm] a\not=1 [/mm] und [mm] \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}, [/mm] dann hat das System genau eine Lösung
-wenn a=1 und [mm] \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}, [/mm] dann hat das System mehrere Lösungen
3) -wenn a=1 und [mm] b\not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Rg(A)=2,Rg(A|b)=3
- wenn [mm] a\not=1 [/mm] und [mm] \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \Rightarrow [/mm] Rg(A)=3, Rg(A|b)=3
-wenn a=1 und [mm] \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \Rightarrow [/mm] Rg(A)=2, Rg(A|b)=2
Wie finde ich denn jetzt heraus, ob die Vektoren [mm] \overrightarrow{v1} \overrightarrow{v2} \overrightarrow{v3} [/mm] eine Basis des R3 darstellen?
4) Hier habe ich einfach für [mm] \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} [/mm] eingesetzt und nach x1,x2,x3 umgestellt. Es gilt: [mm] a\not=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L= [mm] \{0,0,0\}
[/mm]
LG Lisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Fr 31.05.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Lisa,
> Gegeben seien die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{v1}[/mm] = (1; a; 0);
> [mm]\overrightarrow{v2}[/mm] = (0; 0; 1);
> [mm]\overrightarrow{v3}=[/mm] (2; 2; c);
> [mm]\overrightarrow{b}=[/mm] (b1; b2; b3):
> Unter welchen Bedingungen kann der [mm]\overrightarrow{b}[/mm] als
> Linearkombination der [mm]\overrightarrow{v1} \overrightarrow{v2} \overrightarrow{v3}[/mm]
>
> dargestellt werden , sodass
> x1 [mm]\overrightarrow{v1}[/mm] +x2 [mm]\overrightarrow{v2}[/mm] +x3
> [mm]\overrightarrow{v3}= \overrightarrow{b}[/mm]
> (a) Schreiben Sie
> das Problem als lineares Gleichungssystem A*x
> [mm]=\overrightarrow{b}.[/mm]
> Unter welcher Bedingung gibt es eine eindeutige
> Darstellung des [mm]\overrightarrow{b}[/mm] als Linearkombination
> Unter welcher Bedingung gibt es keine solche Darstellung?
> Unter welcher Bedingung gibt es mehrere solcher
> Darstellungen?
> Wie groß ist in diesen Fällen jeweils der Rang der
> Systemmatrix A und der erweiterten
> Matrix (A;b)?
> In welchem Fall stellen die Vektoren [mm]\overrightarrow{v1} \overrightarrow{v2} \overrightarrow{v3}[/mm]
> Basis des R3 dar?
> Wir betrachten den Fall, in dem obige Darstellung
> eindeutig ist. Wie lauten in diesem Fall die Koeffizienten
> x1, x2, x3?
> Hi, ich versuche die oben genannten Aufgaben zu lösen und
> weiß leider nicht, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Bis
> jetzt habe ich einfach das LGS aufgestellt und die
> möglichen Lösungen ermittelt.
>
> [mm]1)\pmat{ 1 & 0 & 2 | b1 \\ a & 0 & 2 | b2\\ 0 & 1 & c | b3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 2 | b1 \\ 0 & 1& c | b3\\ a & 0 & 2 | b2}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 2 | b1 \\ 0 & 1 & c | b2\\ 0 & 0 & 2-2a| b2-b1a}[/mm]
In der 2. Zeile müsste es b3 heißen.
Für $a [mm] \not=$ [/mm] 0 Umformung ok.
>
>
> 2) Die möglichen Lösungen des LGS sind doch gleichzeitig
> die möglichen Darstellungen der Linearkombination, oder ?
Ja.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 | b1 \\ 0 & 1 & c | b2\\ 0 & 0 & 2-2a| b2-b1a}[/mm]
>
>
> - wenn a=1 und [mm]b\not=[/mm] 0, dann hat das System keine
> Lösung
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , für [mm]\overrightarrow{b}[/mm] reicht die Bedingung [mm] $b_1 \not= b_2$.
[/mm]
> - wenn [mm]a\not=1[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0},[/mm]
> dann hat das System genau eine Lösung
, Bedingung für [mm]\overrightarrow{b}[/mm] ist überflüssig.
> -wenn a=1 und [mm]\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0},[/mm] dann
> hat das System mehrere Lösungen
, Bedingung für [mm]\overrightarrow{b}[/mm]: [mm] $b_1 [/mm] = [mm] b_2$.
[/mm]
>
>
> 3) -wenn a=1 und [mm]b\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Rg(A)=2,Rg(A|b)=3
> - wenn [mm]a\not=1[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \Rightarrow[/mm]
> Rg(A)=3, Rg(A|b)=3
> -wenn a=1 und [mm]\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \Rightarrow[/mm]
> Rg(A)=2, Rg(A|b)=2
, wenn man Bedingungen an [mm]\overrightarrow{b}[/mm] aus 2)
berücksichtigt.
>
> Wie finde ich denn jetzt heraus, ob die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{v1} \overrightarrow{v2} \overrightarrow{v3}[/mm]
> eine Basis des R3 darstellen?
Wenn die 3 Vektoren [mm]\overrightarrow{v1}, \\ \overrightarrow{v2}, \\ \overrightarrow{v3}[/mm] linear unabhängig sind,
bilden sie eine Basis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Genau das, was Du unter 4) gemacht hast.
Sie sind linear unabhängig, wenn das homogenen Gleichungssystem nur
die eindeutige Lösung L= [mm]\{0,0,0\}[/mm] hat.
>
> 4) Hier habe ich einfach für
> [mm]\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}[/mm] eingesetzt und nach
> x1,x2,x3 umgestellt. Es gilt: [mm]a\not=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] L= [mm]\{0,0,0\}[/mm]
>
Bei der Frage 4) ist nicht ganz eindeutig was mit
"den Fall, in dem obige Darstellung eindeutig ist"
gemeint ist.
Es könnte auch der Fall sein, in dem sich [mm]\overrightarrow{b}[/mm]
eindeutig als Linearkombination von [mm]\overrightarrow{v1}, \\ \overrightarrow{v2}, \\ \overrightarrow{v3}[/mm] darstellen lässt.
Dann sollten [mm] $x_1$, $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm]\overrightarrow{b}[/mm] berechnet werden.
> LG Lisa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
meili
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