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| Aufgabe | Die Vektoren [mm] $v_{1},...,v_{t}\in [/mm] V$ seien eine Orthonormalbasis von
$V.$ Sei [mm] $v\in [/mm] V.$ Ist [mm] $\lambda_{s}=\langle v,v_{s}\rangle,$ [/mm] so
ist [mm] $v=\sum_{s=1}^{t}\lambda_{s}v_{s}.$\\
[/mm]
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was mich hier irritiert ist, dass die Aussage aber mal sowas von klar
ist.
Folgt das nicht allein schon daraus, dass ich die gegebene ONB habe?
Die Umkehrung zu zeigen, ist hier sehr einfach, aber das bringt mir
nun auch nichts.
Ich dachte mir, ich schreibe einfach mal: [mm] $\sum_{s=1}^{t}\lambda_{s}v_{s}=\sum_{s=1}^{t}\langle v,v_{s}\rangle v_{s}.$
[/mm]
Jetzt ist das aber doch nicht so einfach [mm] =$\sum_{s=1}^{t}\langle v_{s},v_{s}\rangle [/mm] v$,
womit die Behauptung folgen würde. Wie muss man es dann [mm] machen?\\
[/mm]
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> Die Vektoren [mm]v_{1},...,v_{t}\in V[/mm] seien eine
> Orthonormalbasis von
> [mm]V.[/mm] Sei [mm]v\in V.[/mm] Ist [mm]\lambda_{s}=\langle v,v_{s}\rangle,[/mm] so
> ist [mm]v=\sum_{s=1}^{t}\lambda_{s}v_{s}.[/mm][mm] \\[/mm]
>
>
> was mich hier irritiert ist, dass die Aussage aber mal
> sowas von klar
> ist.
Mallo,
ja? Mir ist die so, wie sie dasteht, gar nicht klar.
ich denke aber, daß Du sie eigenmächtig verkürzt hast und ein "für alle [mm] s\in [/mm] {1,...,t}" gestrichen.
>
> Folgt das nicht allein schon daraus, dass ich die gegebene
> ONB habe?
Ja, ohne Grund gibt's die Voraussetzung ja nicht...
Wenn [mm] v\in [/mm] V, so ist das eine linearkomination der [mm] v_i.
[/mm]
Nun multipliziere diese Linearkombi nacheinander mit sämtlichen [mm] v_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Die Umkehrung zu zeigen, ist hier sehr einfach, aber das
> bringt mir
> nun auch nichts.
>
> Ich dachte mir, ich schreibe einfach mal:
> [mm]\sum_{s=1}^{t}\lambda_{s}v_{s}=\sum_{s=1}^{t}\langle v,v_{s}\rangle v_{s}.[/mm]
>
> Jetzt ist das aber doch nicht so einfach
> =[mm]\sum_{s=1}^{t}\langle v_{s},v_{s}\rangle v[/mm],
> womit die
> Behauptung folgen würde. Wie muss man es dann [mm]machen?\\[/mm]
>
>
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> > Die Vektoren [mm]v_{1},...,v_{t}\in V[/mm] seien eine
> > Orthonormalbasis von
> > [mm]V.[/mm] Sei [mm]v\in V.[/mm] Ist [mm]\lambda_{s}=\langle v,v_{s}\rangle,[/mm]
> so
> > ist [mm]v=\sum_{s=1}^{t}\lambda_{s}v_{s}.[/mm][mm] \\[/mm]
>
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> >
> >
> > was mich hier irritiert ist, dass die Aussage aber mal
> > sowas von klar
> > ist.
>
> Mallo,
>
> ja? Mir ist die so, wie sie dasteht, gar nicht klar.
>
> ich denke aber, daß Du sie eigenmächtig verkürzt hast
> und ein "für alle [mm]s\in[/mm] {1,...,t}" gestrichen.
Denke ich auch.
>
> >
> > Folgt das nicht allein schon daraus, dass ich die gegebene
> > ONB habe?
>
> Ja, ohne Grund gibt's die Voraussetzung ja nicht...
>
> Wenn [mm]v\in[/mm] V, so ist das eine linearkomination der [mm]v_i.[/mm]
>
> Nun multipliziere diese Linearkombi nacheinander mit
> sämtlichen [mm]v_i.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Ja das war das was ich meinte mit der Umkehrung. Setze ich [mm] v=\sum_{i=1}^{t}\lambda_{i}v_{i} [/mm] und berechne dann [mm] \langle v,v_i\rangle [/mm] kommt natürlich [mm] \lambda_i [/mm] raus. Aber damit hätte ich doch genau die Umkehrung gezeigt. Gilt [mm] \lambda_i [/mm] ist Linearkombination der ONB (was es natürlich immer ist), dann ist [mm] \lambda_i=\langle v,v_i \rangle, [/mm] oder nicht?
>
>
>
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> >
> > Die Umkehrung zu zeigen, ist hier sehr einfach, aber das
> > bringt mir
> > nun auch nichts.
> >
> > Ich dachte mir, ich schreibe einfach mal:
> > [mm]\sum_{s=1}^{t}\lambda_{s}v_{s}=\sum_{s=1}^{t}\langle v,v_{s}\rangle v_{s}.[/mm]
>
> >
> > Jetzt ist das aber doch nicht so einfach
> > =[mm]\sum_{s=1}^{t}\langle v_{s},v_{s}\rangle v[/mm],
> > womit
> die
> > Behauptung folgen würde. Wie muss man es dann [mm]machen?\\[/mm]
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:29 Fr 17.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > was mich hier irritiert ist, dass die Aussage aber mal
> > > sowas von klar
> > > ist.
> >
> > ja? Mir ist die so, wie sie dasteht, gar nicht klar.
> >
> > ich denke aber, daß Du sie eigenmächtig verkürzt hast
> > und ein "für alle [mm]s\in[/mm] {1,...,t}" gestrichen.
>
> Denke ich auch.
Du denkst dass du da was gekuerzt hast?
> > > Folgt das nicht allein schon daraus, dass ich die gegebene
> > > ONB habe?
> >
> > Ja, ohne Grund gibt's die Voraussetzung ja nicht...
> >
> > Wenn [mm]v\in[/mm] V, so ist das eine linearkomination der [mm]v_i.[/mm]
> >
> > Nun multipliziere diese Linearkombi nacheinander mit
> > sämtlichen [mm]v_i.[/mm]
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Ja das war das was ich meinte mit der Umkehrung. Setze ich
> [mm]v=\sum_{i=1}^{t}\lambda_{i}v_{i}[/mm] und berechne dann [mm]\langle v,v_i\rangle[/mm]
> kommt natürlich [mm]\lambda_i[/mm] raus. Aber damit hätte ich doch
> genau die Umkehrung gezeigt.
Noe, wieso?
> Gilt [mm]\lambda_i[/mm] ist
> Linearkombination der ONB (was es natürlich immer ist),
Vorsicht! [mm] $\lambda_i$ [/mm] ist ein Skalar, also keine Linearkombination aus Vektoren!
> dann ist [mm]\lambda_i=\langle v,v_i \rangle,[/mm] oder nicht?
LG Felix
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