Linearkombination von Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgende Linearkombination von Vektoren.
a) b = 1/2 $ [mm] a_1 [/mm] $ - 1/2 $ [mm] a_2 [/mm] $ + 3/2 $ [mm] a_3 [/mm] $
mit $ [mm] a_1 [/mm] $ = ($ [mm] e_2 [/mm] $ + $ [mm] e_3 [/mm] $), $ [mm] a_2 [/mm] $ = ($ [mm] e_1 [/mm] $ + $ [mm] e_2 [/mm] $), $ [mm] a_3 [/mm] $ = ($ [mm] -e_1 [/mm] $ - 2$ [mm] e_2 [/mm] $ + 3$ [mm] e_3 [/mm] $) |
Ich stehe total auf dem Schlauch, könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich diese Rechnung dürchführe. Ich habe zwar im Heft die Lösung, aber keinen Rechenweg. Danke euch
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> Berechnen Sie die folgende Linearkombination von Vektoren.
> a) b = 1/2 [mm]a_1[/mm] - 1/2 [mm]a_2[/mm] + 3/2 [mm]a_3[/mm]
>
> mit [mm]a_1[/mm] = ([mm] e_2[/mm] + [mm]e_3 [/mm]), [mm]a_2[/mm] = ([mm] e_1[/mm] + [mm]e_2 [/mm]), [mm]a_3[/mm] = ([mm] -e_1[/mm]
> - 2[mm] e_2[/mm] + 3[mm] e_3 [/mm])
> Ich stehe total auf dem Schlauch, könnte
> mir jemand einen Tipp geben, wie ich diese Rechnung
> dürchführe. Ich habe zwar im Heft die Lösung, aber keinen
> Rechenweg. Danke euch
Ich nehmen an, "berechnen" bedeutet in diesem Zusammenhang, dass man $b$ als Linearkombination der "Basisvektoren" [mm] $e_1, e_1$ [/mm] und [mm] $e_3$ [/mm] darstellt: Du darfst in der gegebenen Darstellung von $b$ als Linearkombination der Vektoren [mm] $a_1, a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$ [/mm] nun die zu diesem Vektoren äquivalenten Linearkombinationen einsetzen und dann alle Vielfachen von [mm] $e_1, e_2$ [/mm] bzw. [mm] $e_3$ [/mm] sammeln: und schon hast Du die gewünschte Darstellung von $b$ als Linearkombination von [mm] $e_1, e_2$ [/mm] und [mm] $e_3$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 21.09.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
> Berechnen Sie die folgende Linearkombination von Vektoren.
> a) b = 1/2 [mm]a_1[/mm] - 1/2 [mm]a_2[/mm] + 3/2 [mm]a_3[/mm]
>
> mit [mm]a_1[/mm] = ([mm] e_2[/mm] + [mm]e_3 [/mm]), [mm]a_2[/mm] = ([mm] e_1[/mm] + [mm]e_2 [/mm]), [mm]a_3[/mm] = ([mm] -e_1[/mm]
> - 2[mm] e_2[/mm] + 3[mm] e_3 [/mm])
Die Vektoren [mm] \vec{e_{1}}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vec{e_{2}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e_{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] sind ja die Standart Basisvektoren.
Nun berechnest du also die Vektoren [mm] \vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}} [/mm] entsprechend den Vorschriften, also wie in der Aufgabe angegeben.
Ich rechne dir es mal für [mm] \vec{a_{1}} [/mm] vor.
[mm] \vec{a_{1}}=\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Genauso machst du es bei den anderen zwei Vektoren.
Nun setzt du entsprechend der vorgegebenen Vorschrift in der Aufgabe den Vektor [mm] \vec{b}.
[/mm]
Ich fang mal an. [mm] \vec{b}=0,5*\vec{a_{1}}-0,5*\vec{a_{2}}+1,5*\vec{a_{3}}
[/mm]
[mm] =0,5*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}-...
[/mm]
[mm] =\vektor{0,5*0 \\ 0,5*1 \\ 0,5*1}-...
[/mm]
[mm] =\vektor{0 \\ 0,5 \\ 0,5}-...
[/mm]
Ich denke den Rest kriegst du alleine hin.
Gruß,
clwoe
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Vielen Dank. Jetzt weiß ich, wie es gemeint war. Danke Danke
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