Linearkombinationen von Vektor < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Fr 04.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils die Menge aller Linearkombinationen der folgenden Vektoren des R-Vektorraums [mm] R^2:
[/mm]
a) v=(1 2)
b) v1=(1 2) und v2=(2 4)
c) v1=(1 2) und v2=(1 0) |
Wie geh ich an sowas ran??bin völlig planlos?
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Hallo SADlerin,
> Bestimmen Sie jeweils die Menge aller Linearkombinationen
> der folgenden Vektoren des R-Vektorraums [mm]R^2:[/mm]
> a) v=(1 2)
> b) v1=(1 2) und v2=(2 4)
> c) v1=(1 2) und v2=(1 0)
> Wie geh ich an sowas ran??bin völlig planlos?
Ein "Hallo" ist hier immer gern gesehen, genauso wie ein "tschüß" ...
Nun in a) hast du den Vektor [mm] $v=\vektor{1\\2}$
[/mm]
Die Menge aller Linearkombinationen (über [mm] $\IR$) [/mm] ist [mm] $\{\lambda\cdot{}\vektor{1\\2}\mid\lambda\in\IR\}$
[/mm]
Einfach als Menge geschrieben.
Auch [mm] $spann\left(\vektor{1\\2}\right)$ [/mm] oder [mm] $\left\langle\vektor{1\\2}\right\rangle$ [/mm] oder oder
Auf jeden Fall ist dies ein eindimensionaler Unterraum des [mm] $\IR^2$, [/mm] mithin eine Ursprungsgerade...
Welche? Mit welcher Steigung? (Nenne die erste Komponente x, die zweite y und du solltest die Geradengleichung angeben können, die die Menge aller reellen LKs von v graphisch beschreibt ...)
Bei b) ähnlich ...
Was ist mit den beiden Vektoren los? Linear (un)abhängig?
Was sagt dir das über den Spann?
Bei c) sind die beiden Vektoren offensichtlich linear unabhängig.
Was sagt die das, wenn du bedenkst, dass [mm] $dim(\IR^2)=2$ [/mm] ist, über den Spann der beiden aus?
Genügend Anregungen?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Fr 04.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
Hallo^^(sorry,sonst schreib ich immer hallo,habs wohl vergessen)
Also genügend Anregungen auf jeden Fall.Hab no ned wirklich alles Verstanden,da ich in der Vektormathematik alles andere als ne Leuchte bin.....muss aber trotzdem die Aufgaben lösen^^Z.B hab ich no nie was von linear abhängig/unabhängig bei Vektoren gehört,noch kann ich mir irgendetwas unter Vektorräumen bzw Untervektorräumen vorstellen.....Ich denk mal drüber nach und wenn ich denke dass ich was einigermaßen sinnvolles hab,dann post ich wieder^^
Danke Tschuß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 04.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
Hey,
Ich hätte an Verdacht was linear abhängig bedeutet: Wenn ich die beide Vektoren durch Division oder Multiplikation in einander Umwandeln kann.
Wenn dieser verdacht stimmt,dann Würde die Gerade in Teilaufgabe (b) eine einzige sein.--> 1 Ursprungsgerade
in (c) wären es zwei verschiedene Urspringsgeraden und würden damit eine Ebene aufspannen,oda?????(Theorie)
Die Steigung in (a) und (b) is gleich. nämlich y=2x
Stimmt des??
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Hallo nochmal,
> Hey,
> Ich hätte an Verdacht was linear abhängig bedeutet: Wenn
> ich die beide Vektoren durch Division oder Multiplikation
> in einander Umwandeln kann.
Naja, was ist Division von Vektoren?
Sagen wir besser: Zwei Vektoren sind genau dann linear abh., wenn sie Vielfache (hier reelle Vielfache) voneinander sind.
Für mehr als 2 Vektoren gilt das aber so nicht, da gibt's ne schöne Definition, die du unbedingt verinnerlichen solltest.
Steht in jedem Mathebuch bzw. wikipedia ...
> Wenn dieser verdacht stimmt,dann Würde die Gerade in
> Teilaufgabe (b) eine einzige sein.--> 1 Ursprungsgerade ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau, du brauchst nur einen der beiden Vektoren, um deinen Unterraum aufzuspannen, der andere ist ein Vielfaches des einen, der trägt nix neues bei ...
> in (c) wären es zwei verschiedene Urspringsgeraden und
> würden damit eine Ebene aufspannen,oda?????(Theorie)
Genau, es wird der gesamte [mm] $\IR^2$ [/mm] von den beiden Vektoren in c) aufgespannt
> Die Steigung in (a) und (b) is gleich. nämlich y=2x
Ja, das ist die Gerade, die die LKen beschreibt.
>
> Stimmt des??
>
Jo, das meiste!
LG
schachuzipus
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